Dany jest równoległobok ABCD
współrzędne punktów:
A(1,0,1)
B(1,2,3)
C(2,1,-1)
1)Podaj współrzędne punktu D
2)Oblicz kąt przy wierzchołku A
3)Oblicz pole i obwód
4)Oblicz wysokość poprowadzoną z pk. D
Będę bardzo wdzięczny jeśli ktoś rozwiąże krok po kroku i wytłumaczy mi to bo nie rozumiem jak się oblicza odległość np. AB, itp
Dany jest równoległobok ABCD
-
MJay
- Użytkownik
- Posty: 140
- Rejestracja: 26 paź 2010, o 18:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: RJS \ Krk
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 12 razy
Dany jest równoległobok ABCD
Poniważ równoległobok musi mieć jako tako poukładane nazywanie kątów, dlatego jesteśmy w stanie stwierdzić, że pkt D będzie najdalej od pktu B. Dlatego potrzebujemy dwóch wektorów, \(\displaystyle{ \vec{BA}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{BC}}\), które są równe odpowiednio \(\displaystyle{ \left[ 0; -2; -2\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[ 1; -1; -4\right]}\) , (bo, \(\displaystyle{ \vec{BA} = (A_x - B_x; A_y - B_y; A_z - B_z)}\), analogicznie drugi wektor)
a) Po dodaniu tych wektorów otrzymamy wektor wypadkowy który doprowadzi nas z pktu B do pktu D.
\(\displaystyle{ \vec{v} = \vec{BA} + \vec{BC} = [1; -3; -6]}\)
Teraz dokonujemy translacji o wektor v punktu B, ale nie pamiętam jak się to zapisywało, jak napiszesz słownie to też może być. Z tego wynika, że pkt D = (2; -1; -3).
b)potrzebujemy teraz dwóch wektór \(\displaystyle{ \vec{AB} = [0; 2;2]}\) i \(\displaystyle{ \vec{AD} = [1; -1; -4]}\)
z iloczynu skalarnego o postaci \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot cos \alpha}\), oraz \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x \cdot cos0^o + a_y \cdot b_y \cdot cos0^o + a_z \cdot b_z \cdot cos0^o}\), wyliczamy cosinusa (długość wektora liczy się z pitagorasa \(\displaystyle{ \vec{AB} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{8}}\), \(\displaystyle{ \vec{AD} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{18}}\) )
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{0 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-4) \cdot 1}{ \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} }}\)
zatem
\(\displaystyle{ \alpha = arccos\left( \frac{0 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-4) \cdot 1}{ \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} }\right)}\)
c) Pole wyliczysz ze wzoru \(\displaystyle{ \left| \vec{AB} \right| \cdot \left| \vec{AD} \right| \cdot sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ Obwód = 2 \cdot \sqrt{8} + 2 \cdot \sqrt{18}}\)
d) \(\displaystyle{ sin (180 - \alpha) = \frac{h_1}{ \left| \vec{DC} \right| }}\)
oraz \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{h_2}{\left| \vec{DA} \right|}}\)
będą dwie odpowiedzi, bo nie jest określone w którą stronę ma być zwrócona ta wysokość (czy opadać na prostą AB czy prostą BC)
a) Po dodaniu tych wektorów otrzymamy wektor wypadkowy który doprowadzi nas z pktu B do pktu D.
\(\displaystyle{ \vec{v} = \vec{BA} + \vec{BC} = [1; -3; -6]}\)
Teraz dokonujemy translacji o wektor v punktu B, ale nie pamiętam jak się to zapisywało, jak napiszesz słownie to też może być. Z tego wynika, że pkt D = (2; -1; -3).
b)potrzebujemy teraz dwóch wektór \(\displaystyle{ \vec{AB} = [0; 2;2]}\) i \(\displaystyle{ \vec{AD} = [1; -1; -4]}\)
z iloczynu skalarnego o postaci \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b \cdot cos \alpha}\), oraz \(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x \cdot cos0^o + a_y \cdot b_y \cdot cos0^o + a_z \cdot b_z \cdot cos0^o}\), wyliczamy cosinusa (długość wektora liczy się z pitagorasa \(\displaystyle{ \vec{AB} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{8}}\), \(\displaystyle{ \vec{AD} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{18}}\) )
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{0 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-4) \cdot 1}{ \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} }}\)
zatem
\(\displaystyle{ \alpha = arccos\left( \frac{0 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-4) \cdot 1}{ \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} }\right)}\)
c) Pole wyliczysz ze wzoru \(\displaystyle{ \left| \vec{AB} \right| \cdot \left| \vec{AD} \right| \cdot sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ Obwód = 2 \cdot \sqrt{8} + 2 \cdot \sqrt{18}}\)
d) \(\displaystyle{ sin (180 - \alpha) = \frac{h_1}{ \left| \vec{DC} \right| }}\)
oraz \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{h_2}{\left| \vec{DA} \right|}}\)
będą dwie odpowiedzi, bo nie jest określone w którą stronę ma być zwrócona ta wysokość (czy opadać na prostą AB czy prostą BC)