Styczna do hiperboli

[marcin12-02]

Znajdź styczna do hiperboli
\(\displaystyle{ 4x ^{2} -y ^{2} =4}\)
przechodząca przez punkt a (1,4)

[Crizz]

Wzór na styczną do hiperboli \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\) w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\):

\(\displaystyle{ \frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1}\)

Wykorzystaj ten wzór, a następnie ułóż układ równań, żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ x_0,y_0}\) (pierwsze równanie wynika z faktu, że \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) należy do hiperboli, więc spełnia jej równanie; drugie wynika z tego, że punkt \(\displaystyle{ A}\) należy do szukanej prostej).

[marcin12-02]

Czy mógłbyś rozpisać rozwiązanie odrazu by mi się to rozjaśniło z góry Dziękuję

[Crizz]

Po kolei, zacznij od zapisania równania podanej hiperboli w postaci \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\) (podziel najpierw obie strony równania przez \(\displaystyle{ 4}\)). Potem zapisz ogólne równanie szukanej prostej \(\displaystyle{ \frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1}\).

[marcin12-02]

Mam rozumieć że to jest styczna do hiperboli?
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{1}- \frac{4y ^{2} }{1}= 1}\)

[Crizz]

Nie. \(\displaystyle{ (x_0,y_0) \neq (1,4)}\). \(\displaystyle{ x_0}\) oraz \(\displaystyle{ y_0}\) będą niewiadomymi.