pole, równanie płaszczyzny, odległość pkt od prostej

[FGwwa]

Witam serdecznie i proszę o pomoc w 3-ch zadaniach z Geometrii analitycznej.

1)Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach w 3 punktach.
\(\displaystyle{ A=\left( 1, -1, 3\right), B=\left( 0, 2, -3\right), C=\left( 2, 2, 1)\right).}\)

pierw myślałem, by obliczyć odległość pomiędzy punktami AB w celu wyznaczenia długości podstawy. Następnie obliczyć wektorowo coś prostopadłego do podstawy z punktu c w celu utworzenia wysokości, no ale nie idzie. Nawet odległości między tymi punktami wychodzą pod pierwiastkiem.. np. \(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{46}}\)

2)Napisz równanie płaszczyzny prostopadłej do odcinka AB o końcach: \(\displaystyle{ A=\left( -1, 0, 1\right) , B=\left( 5, 6, 7\right)}\) i przechodzącej przez środek tego odcinka

3) Oblicz odległość punktu \(\displaystyle{ A=\left( 0, 1, -1\right)}\) od prostej \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{3}}\)

tutaj w 2-gim już nie mam pomysłów, w drugim zacząłbym od utworzenia wektora i punktu bieżącego a następnie próbował utworzyć wektor prostopadły no ale nie wiem jak to ugryźć,w 3-cim rozkładam ręce i liczę na pomoc
Pozdrawiam

[MJay]

1. policz pole tego trojkata ze wzoru \(\displaystyle{ P = \sqrt{p(p - |AB|)(p - |BC|)(p - |CA|)}}\), gdzie P to pole, a p to połowa obwodu (to, że jest wynik \(\displaystyle{ \sqrt{46}}\) to się nie przejmuj, to też jest wynik

3. tutaj masz podobnie jak rozwiązywał z taką prostą https://www.matematyka.pl/231732.htm

2. Co do drugiego przyznam się, że jeszcze nie patrzyłem w notatki z wykładu jak wyznaczac plaszczyzne majac wektor, ale na tej zasadzie musisz to zrobic

[FGwwa]

dzięki za szybką - spróbuje coś wykonać i dać do ew. sprawdzenia. Przeanalizuje także 3-cie.

Czekam na pomoc dot. 2 i może także jakieś inne sugestie jeśli chodzi o pozostałe.

dzięki i pozdrowienia

[MJay]

Przeczytałem na temat płaszczyzny na wikipedii. Z tego co tam pisze to mając równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\), to wektor \(\displaystyle{ \left[ A; B; C\right]}\), to wektor normalny (czyli prostopadły do płaszczyzny. Zatem aby znaleźć płaszczyznę prostopadłą do tej prostej i przechodzącej przez środek odcinka, skonstruujmy wektor zaczepiony w połowie odcinka i zmierzający do któregoś z punktów.
\(\displaystyle{ A = \left( -1; 0; 1\right)}\)
\(\displaystyle{ B = \left( 5; 6; 7\right)}\)
połowa jest w punkcie \(\displaystyle{ C = \left( \frac{-1 + 5}{2}; \frac{0 + 6}{2}; \frac{1 + 7}{2} \right) = \left( 2; 3; 4\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{CB} = \left[ 5 - 2; 6 - 3; 7 -4\right] = \left[ 3;3;3\right]}\)
W takim układzie płaszczyzna prostopadła do odcinka i przechodzaca przez jego srodek ma równanie
\(\displaystyle{ 3(x - 2) + 3(y - 3) + 3(z - 4) = 0}\)

Ale dobrze by było, żeby ktoś to potwierdził, bo robie to zadanie na świeżo w głowie..

[Crizz]

Jest OK.

[FGwwa]

Dzięki MJay!

Co do pierwszego; jeśli wyjdziemy z takiego wzoru który podałeś:
\(\displaystyle{ P = \sqrt{p(p - |AB|)(p - |BC|)(p - |CA|)}}\)
to musimy obliczyć |AB|, |BC|, |CA| - potrafimy to więc mając:
\(\displaystyle{ A=\left( 1, -1, 3\right), B=\left( 0, 2, -3\right), C=\left( 2, 2, 1\right)}\)

\(\displaystyle{ AB=\left( 0-1, 2+1, -3-3\right)=\left( -1, 3, -6\right)}\)
\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{1+9+36} = \sqrt{46}}\)
itd.. więc

\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{46}, |BC|= \sqrt{20}, |CA|= \sqrt{14}}\).. są to pierwiastki, wiec podstawiając do tego wzoru nie otrzymujemy 'ładnego' ani nawet dobrze wyglądającego wyniku - wstawić i tak zostawić po prostu? bo to nawet się nie uprości w żaden sposób, nie doda. Czy może to ja coś robię źle? Móglby ktoś to rozpisać? Ap ropo trzeciego to juz patrzę.

edit:

3. Szybko napisałem te zadanie, fakt podobne. proszę o sprawdzenie i ew. poprawkę
\(\displaystyle{ A=(0, 1, -1)}\) , \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{3}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t \\ y=-t \\z=3t \end{cases}}\)

punkt na prostej \(\displaystyle{ P}\):,
\(\displaystyle{ P=(2t, -t, 3t)}\)
odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od punktu \(\displaystyle{ P}\) na prostej:
\(\displaystyle{ PA=(2t-0, -t-1, 3t+1)}\)
\(\displaystyle{ |PA|= \sqrt{4t^2+t^2-2t+1+9t^2+6t+1}}\)
\(\displaystyle{ |PA|= \sqrt{14t^2+4t+2}}\)

[Crizz]

Hmmm... pozwolisz, że zaproponuję inną, dużo prostszą metodę rozwiązania?

Wyznaczasz dowolne dwa wektory zawierające boki trójkąta, których początkiem jest ten sam wierzchołek (np. \(\displaystyle{ \vec{AB},\vec{AC}}\)).
Liczysz iloczyn wektorowy tych wektorów \(\displaystyle{ \vec{AB}\times \vec{AC}}\)
liczysz pole trójkąta jako \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left|\vec{AB}\times \vec{AC}\right|}\)

[MJay]

Dobrze robisz. Wynik niezbyt fajnie wygląda ale jest prawdziwy. Jeśli go obliczysz (broń się przed tym) to wychodzi, że jest równy \(\displaystyle{ P= \sqrt{61}}\).

Ale, że jest to geometria (najlepsza dziedzina matematyki ;]) to odpowiedzi na twoje pytanie jest więcej. Otóż możemy stworzyć sobie wektory, np wektor \(\displaystyle{ \vec{BA}}\) i \(\displaystyle{ \vec{BC}}\). Ich składowe to odpowiednio \(\displaystyle{ \left[ -1;3;-6\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \left[ -2;0;-4\right]}\). Teraz wyliczymy cosinusa kąta między tymi wektorami z iloczynu skalarnego wektorów.
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{BA_x \cdot BC_x \cdot cos0^o +BA_y \cdot BC_y \cdot cos0^o + BA_z \cdot BC_z \cdot cos0^o}{\left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right| }}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{(-1) \cdot (-2) \cdot (1) + (3) \cdot (0) \cdot (1) + (-6) \cdot (-4) \cdot (1)}{ \sqrt{46} \cdot \sqrt{20} } = \frac{26}{ \sqrt{920} }}\)
Teraz trzeba wyliczyć sinusa
\(\displaystyle{ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \sqrt{ \frac{244}{920} }}\)
Teraz kiedy mamy sinusa możemy obliczyć pole tego trójkąta ze wzoru
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot \left| \vec{BA} \right| \cdot \left| \vec{BC} \right| \cdot sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{920} \cdot \sqrt{ \frac{244}{920} } = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{244} = \sqrt{61}}\)
KONIEC ;]

Trochę pisałem tego posta, nie zauważyłem, że Crizz odpisał.
Btw Crizza faktycznie jest prostsza bo dochodzi do tego samego co ja tutaj znacznie szybciej ;]

[FGwwa]

hm, jedno pytanko do Crizz-a

mając:

\(\displaystyle{ AB=(-1, 3, -6)
AC=(1, 3, -2)

AB x AC=[-6+18, -6-2, -3-3]=[12, -8, -6]}\)

\(\displaystyle{ |AB x AC|= \sqrt{12^2+(-8)^2+(-6)^2}= \sqrt{244}}\)

hm, tak ma być? czy zle licze wektorowo?
ps. dzięki mjay za pomoc!


Jeszcze proszę o pomoc z tym i wyjaśnienie. Czyli zadanie nr. 3 jest dobrze?


Pozdrowienia

[Crizz]

Sposób liczenia jest OK, a \(\displaystyle{ \sqrt{244}=2\sqrt{61}}\) i \(\displaystyle{ S=\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{61}=\sqrt{61}}\).

[FGwwa]

dzięki wielkie!

Czyli do 3-ciego to tyle? czy coś muszę jeszcze dodać jeśli chodzi o tą odleglość od prostej?

[MJay]

Coś mi się nie podoba odpowiedź do trzeciego zadania. Bo odpowiedzią jest odgległość pktu \(\displaystyle{ A}\) od prostej, i to podana parametrycznie. Skoro masz podany pkt \(\displaystyle{ A}\) to przydaloby się żeby pkt \(\displaystyle{ A'}\) też był zapisany, bez parametru \(\displaystyle{ t}\), tym bardziej, że jest tylko jeden pkt symetryczny do \(\displaystyle{ A}\).

Ale nie pomogę Ci dzisiaj już, niestety..

Korzystając z sytuacji spytam Crizza, czy ostrzeżenia po pewnym czasie znikają? Bo nie znalazłem tego w regulaminie, jest tylko za co się je dostaje.

[FGwwa]

czekam w takim razie, może ktoś to jeszcze to zobaczy sprawdzi i ew. poprawi

Pozdrowienia

nikt?-- 18 sty 2011, o 20:40 --podbijam; nadal potrzebuje pomocy dot. zadania 3

3) Oblicz odległość punktu \(\displaystyle{ A=\left( 0, 1, -1\right)}\) od prostej \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{3}}\)

pozdrowienia