Rownanie plaszczyzny idacej przez dwie proste

[Inkognito]

Napisac rownanie plaszczyzny ktura szedlaby przez proste:
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}}\) i
\(\displaystyle{ \frac{x}{2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+2}{1}}\)

[lukasz1804]

Sprawdź, czy dane proste są równoległe, czy się przecinają (nie mogą być skośne, skoro ma istnieć płaszczyzna je zawierająca).
W pierwszym przypadku obierz na jednej z prostych dwa dowolne punkty, na drugiej jeden punkt. W drugim przypadku wyznacz punkt wspólny obu prostych i oprócz tego obierz na każdej z nich po jednym punkcie.
Znajdź równanie płaszczyzny zawierającej obrane 3 punkty.

[Inkognito]

myslalem ze jezeli obydwie maja ten sam wektor kierunkowy to sa rownolegle, wiec przecinacsie nie moga

[xiikzodz]

Niezależnie od wzajemnego położenia prostych, o ile są one różne, można działać tak.

Niech \(\displaystyle{ u}\) będzie wektorem kierunkowym jednej z prostych. Wybierzmy teraz po jednym punkcie z każdej prostej, powiedzmy \(\displaystyle{ P,Q.}\) Niech \(\displaystyle{ v=P-Q}\). Wektor \(\displaystyle{ w=u\times v}\) jest prostopadły do szukanej płaszczyzny zatem równanie płaszczyzny to

\(\displaystyle{ \left\langle w,X\right\rangle=\left\langle w,P-0\right\rangle}\)

gdzie \(\displaystyle{ X=(x,y,z)}\).

Mi wyszło tak (przykładowe wektory i punkty):

Kierunkowy pierwszej prostej:

\(\displaystyle{ u=(2,3,1)}\)

\(\displaystyle{ P=(3,1,1), Q=(0,1,-2), v=(3,0,3)}\)

\(\displaystyle{ u\times v=(9,-3,-3)}\)

Równanie płaszczyzny:

\(\displaystyle{ 9x-3y-3z=9\cdot 3-3\cdot 1-9\cdot 1}\)

czyli

\(\displaystyle{ 9x-3y-3z=15}\).

[Inkognito]

wow, dzienki z pomoc tyko cemu rownanie jakies dziwne
\(\displaystyle{ \left\langle w,x\right\rangle=\left\langle w,P-0\right\rangle}\)-- 14 sty 2011, o 15:26 --dzieki

[xiikzodz]

Wyszedł mały "x". Powinno być \(\displaystyle{ X=(x,y,z)}\) czyli wektor zmiennych odpowiadających współrzednym. Poprawione u góry.