Punkt symetryczny wzgledem prostej

[Inkognito]

Znalesc punkt B symetryczny do punktu \(\displaystyle{ A(5;10;4)}\)
wgledem prostej \(\displaystyle{ \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{-5}}\)

[Crizz]

Najlepiej znaleźć najpierw wektor BP, gdzie \(\displaystyle{ P}\) to rzut punktu B na podaną prostą. Zapisujemy sobie równanie prostej w postaci parametrycznej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+1 \\ y=4t+2 \\z=-5t+3 \end{cases}}\)

Teraz szukamy wektora \(\displaystyle{ \vec{BP}}\). Spróbuj skorzystać z następujących faktów:
\(\displaystyle{ P=[2t+1,4t+2,-5t+3]}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t}\) (bo to punkt podanej prostej)
wektor BP oraz wektor kierunkowy danej prostej są prostopadłe (czyli ich iloczyn skalarny wynosi...?)

Na koniec wystarczy oczywiście zauważyć, że \(\displaystyle{ \vec{BP}=\vec{PB^{\prime}}}\), gdzie \(\displaystyle{ B^{\prime}}\) jest szukanym w zadaniu punktem.

[Inkognito]

Wszystko dobrze tyko jedno prosze jezeli mozno wytlumaczyc mne czemu
\(\displaystyle{ \vec{BP}=\vec{PB^{\prime}}}\) to tak dla siebe, zwiekszyc poziom wiedzy

[Crizz]

Podstawową własnością symetrii względem prostej jest fakt, że dany punkt \(\displaystyle{ B}\) i jego obraz \(\displaystyle{ B^{\prime}}\) leżą na prostej prostopadłej do osi symetrii, w jednakowych od niej odległościach. Dlatego też, jeśli punkt \(\displaystyle{ P}\) jest punktem wspólnym osi symetrii oraz prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ B^{\prime}}\), to \(\displaystyle{ \vec{BP},\vec{PB^\prime}}\) mają ten sam kierunek (oba są prostopadłe do osi symetrii) oraz równe długości (bo \(\displaystyle{ |PB|=|PB^\prime|}\), jako że są to odległości punktów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ B^{\prime}}\) od osi symetrii). Tego, ze mają te same zwroty, chyba nie musze tłumaczyć .

[Inkognito]

Dzieki, to ze dlugoscie jdnakowe ja wiedzial, watpilem jakos tylko na temat samych wektorow;)

[MJay]

Ktoś jest jeszcze chyba na kacu z rana ^.^

[Inkognito]

, nie, u kogos w poniedzialek egzamin z algebry
niema czasu czasu zeby byc na kacu z rana

[MJay]

zerówka?
No to powodzenia ;]

[Inkognito]

dziekuje