Po pierwsze to nie wiem czy dobry dział, ale nie ma chyba działu geometria różniczkowa więc umieściłem w tym. Mam problem z zadaniem:
Znaleźć równanie płaszczyzny normalnej i prostej stycznej do krzywej o równaniach \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2-z^2=1 \\ x^2-y^2-z^2=1\end{cases}}\) w dowolnym punkcie tej krzywej.
Co do prostej stycznej to robię tak:
Niech \(\displaystyle{ F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}-1}\) oraz \(\displaystyle{ G(x,y,z)=x^{2}-y^{2}-z^{2}-1}\).
Równanie stycznej w punkcie \(\displaystyle{ (X,Y,Z)}\) ma postać: \(\displaystyle{ \begin{cases} F_{x}(X-x)+F_{y}(Y-y)+F_{z}(Z-z)=0 \\ G_{x}(X-x)+G_{y}(Y-y)+G_{z}(Z-z)=0\end{cases}}\)
(nie jestem pewien czy \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ x}\) nie powinny być na odwrót tzn. czy nie powinno być \(\displaystyle{ x-X}\))
W każdym razie liczymy: \(\displaystyle{ F'_{x}=2x, F'_{y}=2y,F'_{z}=-2z,G'_{x}=2x,G'_{y}=-2y,G'_{z}=-2z}\)
Wtedy w dowolnym punkcie równanie ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2X(X-x)+2Y(Y-y)-2Z(Z-z)=0 \\ 2X(X-x)-2Y(Y-y)-2Z(Z-z)=0\end{cases}}\)
Jeżeli nie pomyliłem wzorów to chyba jest dobrze?
Nie wiem jak zrobić z płaszczyzną normalną? Nie mogę tego znaleźć w dostępnych mi książkach a w internecie też tego nie widziałem, Myślałem by może znaleźć wzór na wektor styczny i wtedy mamy od razu równanie płaszczyzny normalnej, ale nie bardzo wiem czy tak to się robi w tych zadaniach.Mógłby ktoś pomóc?