odległość punktu od prostej

[monykaa91]

Obliczyć odległość punktu \(\displaystyle{ A=(3,4,5)}\) od prostej:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1-x_2+x_3-2=0 \end{cases}}\)
Pomoże ktoś?:)

[lukasz1804]

Wyznaczmy (w zależności od parametru \(\displaystyle{ t}\)) współrzędne dowolnego punktu \(\displaystyle{ B}\) na prostej \(\displaystyle{ l}\).
Z równania prostej mamy \(\displaystyle{ 2x_1+2x_3-2=0}\), tj. \(\displaystyle{ x_3=1-x_1}\) i przyjmując \(\displaystyle{ x_1=t}\) dostajemy \(\displaystyle{ x_3=1-t, x_2=-(x_1+x_3)=-(t+1-t)=-1}\). Zatem \(\displaystyle{ B=(t,-1,1-t)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t}\).
Zauważ, że odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\) jest długością najkrótszego spośród odcinków \(\displaystyle{ AB}\). Trzeba tylko wybrać odpowiednią wartość \(\displaystyle{ t}\).
Co więcej, \(\displaystyle{ |AB|}\) będzie najkrótsza dokładnie wtedy, gdy wyrażenie \(\displaystyle{ |AB|^2}\) będzie miało wartość najmniejszą.
Mamy \(\displaystyle{ |AB|^2=(t-3)^2+(-1-4)^2+(1-t-5)^2=2t^2+2t+50}\), więc \(\displaystyle{ |AB|^2}\) jest najmniejsze dla \(\displaystyle{ t=-\frac{2}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2}}\) i wynosi \(\displaystyle{ |AB|^2=\frac{99}{2}}\). Zatem \(\displaystyle{ |AB|}\), a tym samym odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\), wynosi \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{22}}{2}}\).

[FGwwa]

hm, ja mam podobny problem i do czegoś już doszedłem:

3) Oblicz odległość punktu\(\displaystyle{ A=\left( 0, 1, -1\right)}\) od prostej \(\displaystyle{ \frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{3}}\).

\(\displaystyle{ A=(0, 1, -1) , \frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{3}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t \\ y=-t \\z=3t \end{cases}}\)

punkt na prostej P:,
\(\displaystyle{ P=(2t, -t, 3t)}\)
odległość punktu A od punktu P na prostej:
\(\displaystyle{ PA=(2t-0, -t-1, 3t+1)}\)
\(\displaystyle{ |PA|= \sqrt{4t^2+t^2-2t+1+9t^2+6t+1}}\)
\(\displaystyle{ |PA|= \sqrt{14t^2+4t+2}}\)

Jak teraz wyznaczyć wartość t?
Pozdrawiam czekam na odpowiedz

[lukasz1804]

Odcinek PA musi być możliwie najkrótszy. Będzie tak dokładnie wtedy, gdy wyrażenie podpierwiastkowe będzie miało najmniejszą wartość, tj. dla \(\displaystyle{ t}\) będącego odciętą wierzchołka paraboli \(\displaystyle{ t\mapsto 14t^2+4t+2}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ t=-\frac{4}{2\cdot 14}=-\frac{1}{7}}\) i wówczas \(\displaystyle{ |PA|=\sqrt{\frac{12}{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}}\).

[FGwwa]

dzięki wielkie - a zadanie jest rozwiązane dobrze, tak?

więc wynik: \(\displaystyle{ t=-\frac{4}{2\cdot 14}=-\frac{1}{7}}\) wstawiamy do równania pod pierwiastkiem: \(\displaystyle{ |PA|= \sqrt{14t^2+4t+2}}\)
i wychodzi: \(\displaystyle{ |PA|=\sqrt{\frac{12}{7}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}}\)

[lukasz1804]

Dokładnie tak. Otrzymaliśmy odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od danej prostej.