Znajdz płaszczyzne

[yudi011]

W jaki sposób mam zacząć rozwiązanie zadań podanych poniżej

Znajdź płaszczyznę symetryczną do płaszczyzny \(\displaystyle{ \beta : 2x-y+z-7=0}\) względem punktu \(\displaystyle{ P\left( 2,3,-1\right)}\) ?


Wyznacz płaszczyznę zawierającą punkt \(\displaystyle{ P\left( 1,0,-3\right)}\) i przecinającą pod kątem prostym prostą:
l:\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+2y-z-1=0 \\ x+4y+z-5=0 \end{cases}}\)
.

[Qń]

Fakt ogólny - płaszczyzna o wektorze normalnym \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) ma równanie \(\displaystyle{ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0}\)

Wskazówka do pierwszego - znajdź prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ \beta}\) i przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ P}\). Punkt wspólny tej prostej i płaszczyzny beta to \(\displaystyle{ Q}\). Niech \(\displaystyle{ P'=P+\vec{QP}}\). Szukana płaszczyzna to płaszczyzna o wektorze normalnym takim jak \(\displaystyle{ \beta}\) i przechodząca przez \(\displaystyle{ P'}\) (dlaczego?).

Wskazówka do drugiego - jeśli nasza płaszczyzna ma być prostopadła do \(\displaystyle{ l}\), to jej wektor normalny musi być równoległy do wektora kierunkowego \(\displaystyle{ l}\) (lub bez utraty ogólności: równy jemu). Rzeczony wektor kierunkowy to iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ [2,2,-1]\times [1,4,1]}\) (dlaczego?).

Q.

[MJay]

Znajdź wektor prostopadły do płaszczyzny (iloczyn wektorowy) i zakończony w punkcie P następnie przesuń o ten sam wektor od punktu P i masz kolejny punkt który należy już do płaszczyzny symetrycznej, a potem z równoległości płaszczyzn \(\displaystyle{ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}}\)