Symetria względem prostej

[MakCis]

Jak znaleźć wzór na symetrię względem prostej \(\displaystyle{ y=-x}\) ?

[akw]

Punkt \(\displaystyle{ P=(x,y)}\) w podanej symetrii to punkt \(\displaystyle{ P'=(-y,-x)}\)
A wzór możesz wyprowadzić chociażby z jednokładności.

[MakCis]

No próbowałem lae nie wychodzi. Bo w jednokładności mam jakiś konkretny punkt a tutaj całą oś...

[akw]

Już o tej porze nie mam za bardzo siły pisać ale pokombinuj z podobnymi przekształceniami. Np.:
\(\displaystyle{ S_{OX}, P=(x,y) \rightarrow P'=(x,-y)}\)
\(\displaystyle{ S_{OY}, P=(x,y) \rightarrow P'=(-x,y)}\)
\(\displaystyle{ S_{y=x}, P=(x,y) \rightarrow P'=(y,x)}\)

[MakCis]

Niestety ale niezbyt mi to pomogło...

[akw]

\(\displaystyle{ J^{k=1}_{y=-x} (A=(x_A,y_A))=(A'=(x_{A'},y_{A'}))}\)

Zauważ że przekształcenie to symetria względem prostej o równaniu: \(\displaystyle{ y=-x}\)

Rozłóżmy to przekształcenie na przekstałcenie odpowiednich współrzędnych:
\(\displaystyle{ y=-x \\ y_A=-x_A}\)
Teraz odcięta:
\(\displaystyle{ -x=y \\ x = - y \\ x_A= -y_A}\)
Stąd otrzymujemy:

\(\displaystyle{ J^{k=1}_{y=-x} (A=(x_A,y_A))=(A'=(-y_{A},-x_{A}))}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ A=(x_{A},y_{A}) \xrightarrow{S_{y=-x}}A'=(-y_{A},-x_{A})}\)

[MakCis]

A jak zrobić, gdybyśmy mieli jakąś prostą daną pełnym ogólnym równaniem? np \(\displaystyle{ y = - \frac{3}{2} x +6}\)

[Crizz]

Weźmy dowolny punkt \(\displaystyle{ A(x_0,y_0)}\) i znajdźmy jego obraz \(\displaystyle{ A^{\prime}}\) w takiej symetrii.

Wyznaczasz prostą prostopadłą do danej, przechodzącą, przez \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) (czyli \(\displaystyle{ y=\frac{2}{3}x+y_0-\frac{2}{3}x_0}\)).

Rozwiązujesz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-\frac{2}{3}x+6 \\ y=\frac{2}{3}x+y_0-\frac{2}{3}x_0 \end{cases}}\)
ze względu na \(\displaystyle{ x,y}\)

Otrzymujesz rzut \(\displaystyle{ S}\) punktu \(\displaystyle{ A}\) na oś symetrii. Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \vec{AA^{\prime}}=2\vec{AS}}\).

[MJay]

drugi sposób to wyznacz prostą prostopadłą do tej prostej przchodzącej przez ten pkt \(\displaystyle{ P}\), znajdz miejsce przeciecia sie tych dwoch prostych \(\displaystyle{ S}\) (to jest srodek okregu o promieniu \(\displaystyle{ \left| PS\right|}\) ). Wez do ukladu rownan ten okrag i ta prosta ktora wyznaczyles, ich pkty wspolne to sa pkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P'}\)