Symetria względem prostej
- akw
- Użytkownik
- Posty: 479
- Rejestracja: 24 lis 2010, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W.
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 57 razy
Symetria względem prostej
Punkt \(\displaystyle{ P=(x,y)}\) w podanej symetrii to punkt \(\displaystyle{ P'=(-y,-x)}\)
A wzór możesz wyprowadzić chociażby z jednokładności.
A wzór możesz wyprowadzić chociażby z jednokładności.
- akw
- Użytkownik
- Posty: 479
- Rejestracja: 24 lis 2010, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W.
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 57 razy
Symetria względem prostej
Już o tej porze nie mam za bardzo siły pisać ale pokombinuj z podobnymi przekształceniami. Np.:
\(\displaystyle{ S_{OX}, P=(x,y) \rightarrow P'=(x,-y)}\)
\(\displaystyle{ S_{OY}, P=(x,y) \rightarrow P'=(-x,y)}\)
\(\displaystyle{ S_{y=x}, P=(x,y) \rightarrow P'=(y,x)}\)
\(\displaystyle{ S_{OX}, P=(x,y) \rightarrow P'=(x,-y)}\)
\(\displaystyle{ S_{OY}, P=(x,y) \rightarrow P'=(-x,y)}\)
\(\displaystyle{ S_{y=x}, P=(x,y) \rightarrow P'=(y,x)}\)
- akw
- Użytkownik
- Posty: 479
- Rejestracja: 24 lis 2010, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W.
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 57 razy
Symetria względem prostej
\(\displaystyle{ J^{k=1}_{y=-x} (A=(x_A,y_A))=(A'=(x_{A'},y_{A'}))}\)
Zauważ że przekształcenie to symetria względem prostej o równaniu: \(\displaystyle{ y=-x}\)
Rozłóżmy to przekształcenie na przekstałcenie odpowiednich współrzędnych:
\(\displaystyle{ y=-x \\ y_A=-x_A}\)
Teraz odcięta:
\(\displaystyle{ -x=y \\ x = - y \\ x_A= -y_A}\)
Stąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ J^{k=1}_{y=-x} (A=(x_A,y_A))=(A'=(-y_{A},-x_{A}))}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ A=(x_{A},y_{A}) \xrightarrow{S_{y=-x}}A'=(-y_{A},-x_{A})}\)
Zauważ że przekształcenie to symetria względem prostej o równaniu: \(\displaystyle{ y=-x}\)
Rozłóżmy to przekształcenie na przekstałcenie odpowiednich współrzędnych:
\(\displaystyle{ y=-x \\ y_A=-x_A}\)
Teraz odcięta:
\(\displaystyle{ -x=y \\ x = - y \\ x_A= -y_A}\)
Stąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ J^{k=1}_{y=-x} (A=(x_A,y_A))=(A'=(-y_{A},-x_{A}))}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ A=(x_{A},y_{A}) \xrightarrow{S_{y=-x}}A'=(-y_{A},-x_{A})}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Symetria względem prostej
Weźmy dowolny punkt \(\displaystyle{ A(x_0,y_0)}\) i znajdźmy jego obraz \(\displaystyle{ A^{\prime}}\) w takiej symetrii.
Wyznaczasz prostą prostopadłą do danej, przechodzącą, przez \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) (czyli \(\displaystyle{ y=\frac{2}{3}x+y_0-\frac{2}{3}x_0}\)).
Rozwiązujesz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-\frac{2}{3}x+6 \\ y=\frac{2}{3}x+y_0-\frac{2}{3}x_0 \end{cases}}\)
ze względu na \(\displaystyle{ x,y}\)
Otrzymujesz rzut \(\displaystyle{ S}\) punktu \(\displaystyle{ A}\) na oś symetrii. Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \vec{AA^{\prime}}=2\vec{AS}}\).
Wyznaczasz prostą prostopadłą do danej, przechodzącą, przez \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) (czyli \(\displaystyle{ y=\frac{2}{3}x+y_0-\frac{2}{3}x_0}\)).
Rozwiązujesz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-\frac{2}{3}x+6 \\ y=\frac{2}{3}x+y_0-\frac{2}{3}x_0 \end{cases}}\)
ze względu na \(\displaystyle{ x,y}\)
Otrzymujesz rzut \(\displaystyle{ S}\) punktu \(\displaystyle{ A}\) na oś symetrii. Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \vec{AA^{\prime}}=2\vec{AS}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 140
- Rejestracja: 26 paź 2010, o 18:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: RJS \ Krk
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 12 razy
Symetria względem prostej
drugi sposób to wyznacz prostą prostopadłą do tej prostej przchodzącej przez ten pkt \(\displaystyle{ P}\), znajdz miejsce przeciecia sie tych dwoch prostych \(\displaystyle{ S}\) (to jest srodek okregu o promieniu \(\displaystyle{ \left| PS\right|}\) ). Wez do ukladu rownan ten okrag i ta prosta ktora wyznaczyles, ich pkty wspolne to sa pkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P'}\)