Boki trójkąta podzielone w różnych stosunkach - wektory

[libertas]

Dany jest trójkąt różnoboczny \(\displaystyle{ ABC}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) dzieli bok \(\displaystyle{ AB}\) w stosunku \(\displaystyle{ 1 : 2}\) licząc od wierzchołka \(\displaystyle{ A}\); punkt \(\displaystyle{ Q}\) dzieli bok \(\displaystyle{ BC}\) w stosunku \(\displaystyle{ 1 : 2}\) licząc od wierzchołka\(\displaystyle{ B}\), a punkt \(\displaystyle{ R}\) dzieli bok \(\displaystyle{ CA}\) w stosunku \(\displaystyle{ 1 : 2}\) licząc od wierzchołka \(\displaystyle{ C}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ |AQ| + |BR| + |CP| =0}\) (to są długości wektorów)

[MJay]

Mam nadzieję, że wklejanie obrazków w dziale geometrii nie jest niedozwolone.

Patrz:


To jest trójkąt równoboczny, każdy z jego boków jest podzielony na 3 części, to oznacza, że jeżeli wektory łączymy tak jak na rysunku to kąt przy wierzchołku będzie podzielony w skali 1:2 (czyli \(\displaystyle{ 20^o:40^o}\)). Niebieskie kąty to kąty \(\displaystyle{ 60^o}\), a zielone \(\displaystyle{ 20^o}\). Weźmy zatem np. trójkąt AB i punkt przecięcia wektora AQ i BR (sorry nie zaznaczyłem go). W trójkącie suma kątów wynosi \(\displaystyle{ 180^o}\) więc mamy \(\displaystyle{ x - 20^o - 40^o = 180^o => x = 120^o}\) (pomarańczowe kąty) => kąty w srodku trójkąta który tworzą wektory są równe \(\displaystyle{ 60^o}\) czyli wektory tworzą trójkąt równoboczny. Jeżeli przesuniemy końce wektorów równolegle to kąty się nie zmienią a otrzymamy coś takiego jak na rysunku drugim. W ten sposób dodaje się wektory (poprzez ustawienie poczatku jedno na koncu drugiego. Po dodaniu wszystkich trzech wychodzi ze wracamy do punktu poczatkowego, czyli udowodnilismy, że dodanie wektorów AQ, BR i CP jest równe 0.

[TheBill]

Dany jest trójkąt różnoboczny \(\displaystyle{ ABC}\).

[MJay]

O sorry. Teraz też przeczytałem równoboczny i się zastanawiałem gdzie problem

[libertas]

Odświeżam temat