Wyznaczyć równania prostych...

goldenka · Post autor: **goldenka** » 2 gru 2006, o 18:00

Mam zadanie żeby wyznaczyć równania wszystkich prostych stycznych do okręgu o rownaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2x-2y-3=0}\) i tworzących z prostą \(\displaystyle{ x+2y-8=0}\) kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

Dzięki z gory za pomoc, nie wiem jak sie za to zabrać.
Pozdrawiam

Lorek · Post autor: **Lorek** » 2 gru 2006, o 19:04

Pozwoliłem sobie przenieść do działu, do którego ten temat lepiej pasuje.
Proste tworzące z prostą \(\displaystyle{ x+2y-8=0}\)kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) są prostopadłe do tej prostej, czyli można je zapisać jako \(\displaystyle{ 2x-y+C=0}\)
Punkty przecięcia tych prostych z okręgiem można wyznaczyć z układu
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2x-2y-3=0\\2x-y+C=0\end{array}}\)
Po wyliczeniu z drugiego "y" i wstawieniu do pierwszego otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ x^2+(2x+C)^2-2x-2(2x+C)-3=0\\5x^2+x(4C-6)+C^2-2C-3=0(*)}\)
Proste będą styczne, jeżeli układ będzie miał jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) równanie (*) będzie miało jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \Delta=0\Leftrightarrow (4C-6)^2-20(C^2-2C-3)=0}\)
z tego wyliczysz C i wyznaczysz proste

goldenka · Post autor: **goldenka** » 2 gru 2006, o 20:15

kurcze sorry źle przepisałam treść zadania... ten kąt to nie kąt prosty tylko 45 stopni...

Calasilyar · Post autor: **Calasilyar** » 2 gru 2006, o 22:29

ja bym to zrobił w ten sposób: podziel sobie okrąg na dwie funkcje i jedź z wzoru na kąt między funkcjami różniczkowalnymi.

PFloyd · Post autor: **PFloyd** » 2 gru 2006, o 22:29

tak samo jak napisał Lorek, tylko że prosta a równanie \(\displaystyle{ y=\frac{1}{3}x+b}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 2 gru 2006, o 22:38

ech...
Przekształćmy równanie prostej do postaci kierunkowej
\(\displaystyle{ x+2y-8=0\\y=-\frac{x}{2}+4}\)
Prosta ta jest nachylona do osi pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), wiadomo, że \(\displaystyle{ tg\alpha=-\frac{1}{2}}\)
Proste tworzące z prostą \(\displaystyle{ x+2y-8=0}\) kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) będą nachylone do osi pod kątem \(\displaystyle{ \alpha+\frac{\pi}{4}}\) lub \(\displaystyle{ \alpha-\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ tg(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{tg\alpha+tg \frac{\pi}{4}}{1-tg\alpha tg\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}\\tg(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{tg\alpha-tg \frac{\pi}{4}}{1+tg\alpha tg\frac{\pi}{4}}=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=-3}\)
i to są 2 rodziny prostych
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{3}x+b\\y=-3x+d}\)
a dalej tak samo