Rozwiązać układ równań

[margor]

Witam,
Mam do rozwiązania taki układ równań, podejrzewam że wybrałem dobry dział na forum.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+xy+y^2 = 13 \\ x+xy+y=7 \end{cases}}\)

Postanowiłem użyć metody analitycznej, odjąć równania stronami. Otrzymałem równanie okręgu o następującej postaci:
\(\displaystyle{ x^2+y^2-x-y=6 \Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{13}{2}}\)

Wydaje się, że wszystkie punkty leżące na okręgu, którego środek (0,5;0,5) a \(\displaystyle{ r^2=\frac{13}{2}}\).

Postanowiłem jednak sprawdzić co na to Wolfram. Wrzuciłem otrzymując następujące rozwiązanie geometryczne:


Nie zgadza się to z moimi obliczeniami. Czy mój sposób rozumowania jest prawidłowy, co jeszcze powinienem zrobić (raczej przybliżony rysunek jeśli zależy mi na prawidłowym rozwiązaniu (polecenie to rozwiązać układ równań).

Poza tym elipsa z rysunku jest niestandardowa tzn. nie spełnia równania typowego równania elipsy:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\)

Pozdrawiam,

[anna_]

Z II równania wyznacz x lub y i podstaw do pierwszego

[margor]

Wyznaczyłem x:
\(\displaystyle{ x=7-y-xy}\)
Otrzymałem:
\(\displaystyle{ (7-y-xy)^2+y(7-y-xy)+y^2=13}\)
Widać regularność, a jak jest regularność to może jakieś ładne podstawienie?
\(\displaystyle{ t=7-y-xy}\)
Dochodzę do równania:
\(\displaystyle{ t^2+ty+y^2=13}\)
Można je rozwiązać względem zmiennej t lub względem zmiennej y.

Równanie ma rozwiązania, gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta_t \ge 0 \\ \Delta_y \ge 0 \end{cases}}\)

[anna_]

Wyznaczyłem x:
\(\displaystyle{ x=7-y-xy}\)

to go wyznacz jeszzce raz
po prawej tez masz x

[margor]

Wyznaczyłem x:
\(\displaystyle{ x=7-y-xy}\)

to go wyznacz jeszzce raz
po prawej tez masz x

Zmęczenie, po Sylwestrze.

\(\displaystyle{ x=-\frac{y-7}{y+1}}\)

Doszedłem do takiej postaci:
\(\displaystyle{ \left(\frac{y-7}{y+1}\right)^2-y\left( \frac{y-7}{y+1} \right) + y^2 = 13 \wedge y \neq -1}\)

Wygląda dużo lepiej. Idę szukać sposobu jak to sensownie uprościć. Ale zanim to zrobię sprawdzam, czy nie ma błędu, bo według Wolframa y = 1 lub y = 3.

Kłóci się to z:

[%28y-7%29%2F%28y%2B1%29]^2-y%28y-7%29%2F%28y%2B1%29%2By^2%3D13

Już rozwiązałem. Zadanie proste, ale chyba dość żmudne. Dzięki za dobre rady.

Pozdrawiam,