Niektóre przekształcenie płaszczyzny.

[Michal99]

Mam zadanie, w którym muszę zbadać, czy podane przekształcenie P płaszczyzny jest izometrią, gdy \(\displaystyle{ x, y \in R}\)

a) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (-x, y+1)}\)
b) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (x-2, y)}\)
c) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (2x, y)}\)
d) \(\displaystyle{ P((x,y)) = (-y, x)}\)
e) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (y, x)}\)
f) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (x+2, y-1)}\)
g) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (x, -3y)}\)
h) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (3x, -3y)}\)
i) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (y+2, x-1)}\)
j) \(\displaystyle{ P((x, y)) = (-y, -x)}\)

Nie chodzi mi o rozwiązanie tego wszystkiego, lecz o wytłumaczenie w jaki sposób mam to zrobić. Z podręcznika nie potrafię nic wywnioskować.

[Afish]

Bierzesz dwa punkty, liczysz odległość między nimi, następnie dokonujesz przekształcenia i liczysz odległość między nowymi punktami. Jeżeli są równe, to masz izometrię.

[Michal99]

Dalej trochę nie rozumiem, czyli np. robię x=1 i y=5, liczę odległość między nimi, a następnie tak jak w podpunkcie a) -1 oraz 6? Chyba źle robię...

[ares41]

Bierzesz dwa dowolne punkty, np:
\(\displaystyle{ A=(x_1;y_1)\\
B=(x_2;y_2)}\)

I liczysz odległość między nimi, potem to samo dla punktów będących ich obrazem.

[Michal99]

Wybaczcie mi, lecz dalej słabo to rozumiem. Mógłbym prosić o szczegółowe rozwiązanie podpunktu a), abym mniej więcej zauważył o co chodzi.

[ares41]

Znasz wzór na odległość dwóch puntów na płaszczyźnie?

[Michal99]

Tak, \(\displaystyle{ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)

[Afish]

No to bierzesz dwa punkty:
\(\displaystyle{ A=(x_1;y_1)\\
B = (x_2;y_2)}\)
Liczysz odległość między nimi (tak, wyjdzie potworek). Potem je przekształcasz, czyli obliczasz \(\displaystyle{ A'=P(A)}\) i \(\displaystyle{ B'=P(B)}\) i liczysz długość \(\displaystyle{ A'B'}\). Jak wyjdzie to samo, to jest izometria.

[Qń]

Chyba prościej skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ P(x,y)=(x,-y)}\) to symetria względem osi \(\displaystyle{ OX}\)
\(\displaystyle{ P(x,y)=(-x,y)}\) to symetria względem osi \(\displaystyle{ OY}\)
\(\displaystyle{ P(x,y)=(-x,-y)}\) to symetria względem punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\)
\(\displaystyle{ P(x,y)=(y,x)}\) to symetria względem prostej \(\displaystyle{ x=y}\)
\(\displaystyle{ P(x,y)=(x+a,y+b)}\) to przesunięcie o wektor \(\displaystyle{ [a,b]}\).

Wszystkie te przekształcenie są izometriami, a ponadto złożenie izometrii jest izometrią.

Wystarczy zatem większość z podanych w zadaniu przekształceń zapisać jako złożenie powyższych.

Wyjątkiem są punkty c),g),h) w których z kolei wystarczy pokazać na przykład, że \(\displaystyle{ \left| (0,0),(1,1)\right| \neq \left| P(0,0),P(1,1)\right|}\) (co znaczy, że przekształcenie nie zachowuje długości, a zatem nie jest izometrią).

Q.

[Michal99]

Dobra, już zrobiłem większość podpunktów. Mam dylemat tylko z podpunktem d), e), i) oraz j). Mam przyjąć wtedy, że x=y? Chodzi mi o to, że jak mamy A=(1, 2) to jak x=y to będzie (2,1)?

[Crizz]

Może odpowiem tak: w punkcie e) obrazem punktu \(\displaystyle{ (1,2)}\) jest punkt \(\displaystyle{ (2,1)}\).