Prosze o pomoc z ulozeniem rownania plaszczyzny ktora ma przechodzic
przez punkt \(\displaystyle{ A(1;2;-1)}\)
i byc prostopadla do prostej
\(\displaystyle{ \frac{x-3}{1} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z+1}{4}}\)
_______________________
Przepraszam ze niema polskich liter
rownanie plaszczyzny
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
rownanie plaszczyzny
1) Obierz (w ciemno) dowolny punkt B na danej prostej - nie musisz wiedzieć, czy leży on na szukanej płaszczyźnie.
2) Przekształć równanie danej prostej do postaci parametrycznej.
3) Korzystając z założenia prostopadłości prostej do płaszczyzny i z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa oraz z obranego punktu B wyznacz współrzędne punktu C takiego, że \(\displaystyle{ |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2}\). Punkt C będzie należał do szukanej płaszczyzny.
Uwaga. Jeśli okaże się, że \(\displaystyle{ C=B}\), to należy zmienić punkt B na inny i powtórzyć rozumowanie od początku.
4) Należy jeszcze znaleźć zależność między współrzędnymi \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) pewnego punktu D takiego, że trójkąt BCD jest prostokątny, tj. musi zachodzić równość \(\displaystyle{ |BC|^2+|CD|^2=|BD|^2}\). Okaże się, że nie da to nam jednoznacznych współrzędnych punktu D, ale z zależności między nimi otrzymamy dokładnie równanie szukanej płaszczyzny - punkt D leży bowiem na prostej CD prostopadłej do danej prostej.
2) Przekształć równanie danej prostej do postaci parametrycznej.
3) Korzystając z założenia prostopadłości prostej do płaszczyzny i z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa oraz z obranego punktu B wyznacz współrzędne punktu C takiego, że \(\displaystyle{ |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2}\). Punkt C będzie należał do szukanej płaszczyzny.
Uwaga. Jeśli okaże się, że \(\displaystyle{ C=B}\), to należy zmienić punkt B na inny i powtórzyć rozumowanie od początku.
4) Należy jeszcze znaleźć zależność między współrzędnymi \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) pewnego punktu D takiego, że trójkąt BCD jest prostokątny, tj. musi zachodzić równość \(\displaystyle{ |BC|^2+|CD|^2=|BD|^2}\). Okaże się, że nie da to nam jednoznacznych współrzędnych punktu D, ale z zależności między nimi otrzymamy dokładnie równanie szukanej płaszczyzny - punkt D leży bowiem na prostej CD prostopadłej do danej prostej.
-
Inkognito
- Użytkownik
- Posty: 218
- Rejestracja: 24 lis 2009, o 10:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wilno
- Podziękował: 27 razy
rownanie plaszczyzny
dzienkuje -- 30 gru 2010, o 18:41 --Czy moglbym prosic o rozwazanie 3pt
punkt wybralem \(\displaystyle{ B(0,11,-13)}\)
rownanie parametrycne wyslo mi
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3+t\\ y=2-3t \\ z=-1+4t \end{cases}}\)
punkt wybralem \(\displaystyle{ B(0,11,-13)}\)
rownanie parametrycne wyslo mi
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3+t\\ y=2-3t \\ z=-1+4t \end{cases}}\)
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
rownanie plaszczyzny
Równanie parametryczne prostej wyznaczyłeś poprawnie.
3) Ponieważ C ma leżeć na danej prostej, to \(\displaystyle{ C=(3+t,2-3t,-1+4t)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t}\). Dla obranego punktu B mamy \(\displaystyle{ (0-1)^2+(11-2)^2+[-13-(-1)]^2=(3+t-1)^2+(2-3t-2)^2+[-1+4t-(-1)]^2+(3+t-0)^2+(2-3t-11)^2+[-1+4t-(-13)]^2}\), skąd \(\displaystyle{ 226=(t+2)^2+9t^2+16t^2+(t+3)^2+(3t+9)^2+(4t+12)^2=26t^2+4t+4+26(t^2+6t+9)=52t^2+160t+238}\), tj. \(\displaystyle{ 52t^2+160t+12=0}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ 0=13t^2+40t+3=(t+3)(13t+1)}\). Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ t=-3}\) otrzymamy C=B, więc należy wziąć pod uwagę \(\displaystyle{ t=-\frac{1}{13}}\), skąd \(\displaystyle{ C=(\frac{38}{13},\frac{29}{13},-\frac{17}{13})}\).
Przepraszam w tym miejscu za pewną nieścisłość w poprzednim rozumowaniu. Niezależnie od branego punktu B zawsze otrzymamy w powyższym kroku dwa możliwe punkty C, z których jeden pokrywa się z B i ten należy odrzucić.
3) Ponieważ C ma leżeć na danej prostej, to \(\displaystyle{ C=(3+t,2-3t,-1+4t)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t}\). Dla obranego punktu B mamy \(\displaystyle{ (0-1)^2+(11-2)^2+[-13-(-1)]^2=(3+t-1)^2+(2-3t-2)^2+[-1+4t-(-1)]^2+(3+t-0)^2+(2-3t-11)^2+[-1+4t-(-13)]^2}\), skąd \(\displaystyle{ 226=(t+2)^2+9t^2+16t^2+(t+3)^2+(3t+9)^2+(4t+12)^2=26t^2+4t+4+26(t^2+6t+9)=52t^2+160t+238}\), tj. \(\displaystyle{ 52t^2+160t+12=0}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ 0=13t^2+40t+3=(t+3)(13t+1)}\). Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ t=-3}\) otrzymamy C=B, więc należy wziąć pod uwagę \(\displaystyle{ t=-\frac{1}{13}}\), skąd \(\displaystyle{ C=(\frac{38}{13},\frac{29}{13},-\frac{17}{13})}\).
Przepraszam w tym miejscu za pewną nieścisłość w poprzednim rozumowaniu. Niezależnie od branego punktu B zawsze otrzymamy w powyższym kroku dwa możliwe punkty C, z których jeden pokrywa się z B i ten należy odrzucić.