Kat miedzy prosta a plaszczyzna

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Inkognito
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 218
Rejestracja: 24 lis 2009, o 10:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wilno
Podziękował: 27 razy

Kat miedzy prosta a plaszczyzna

Post autor: Inkognito »

prosze o pomoc przy obliczeniu kata miedzy prosta
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z-4=0 \\
2x-y+4z+5=0 \end{cases}}\)

a plaszczyzna
\(\displaystyle{ x+y+3z-1=0}\)







________________________
P.S Przepraszam ze nie ma polskich liter
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Kat miedzy prosta a plaszczyzna

Post autor: lukasz1804 »

Moja propozycja:
1) Wyznacz punkt A wspólny dla danej prostej i płaszczyzny.
2) Obierz na danej prostej dowolny punkt B różny od A (punkt B nie leży na danej płaszczyźnie)
3) Ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny znajdź odległość \(\displaystyle{ d}\) punktu B od danej płaszczyzny.
4) Znajdź długość odcinka AB.
5) Zauważ, że sinus szukanego kąta jest równy \(\displaystyle{ \frac{d}{|AB|}}\).
Inkognito
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 218
Rejestracja: 24 lis 2009, o 10:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wilno
Podziękował: 27 razy

Kat miedzy prosta a plaszczyzna

Post autor: Inkognito »

Wielkie dzienki
Ale, cy moglbym prosic o rozwiazanie, chociazby pierwsze 2 punkty
Poniewaz troche zapuscilem ten temat i rownanie prostej zapisane ukladem jest dla mnie niebardzo jasne
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Kat miedzy prosta a plaszczyzna

Post autor: lukasz1804 »

1) Współrzędne punktu A otrzymamy z układu równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z-4=0 \\ 2x-y+4z+5=0 \\ x+y+3z-1=0\end{cases}}\). Odejmując pierwsze równanie od trzeciego dostajemy \(\displaystyle{ 2z+3=0}\), tj. \(\displaystyle{ z=-\frac{3}{2}}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y-\frac{11}{2}=0 \\ 2x-y-1=0 \\ z=-\frac{3}{2}\end{cases}}\). Dodając teraz dwa pierwsze równania stronami uzyskamy \(\displaystyle{ 3x-\frac{13}{2}=0}\), skąd \(\displaystyle{ x=\frac{13}{6}}\), czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{13}{6} \\ y=\frac{10}{3} \\ z=-\frac{3}{2}\end{cases}}\). W konsekwencji \(\displaystyle{ A=(\frac{13}{6},\frac{10}{3},-\frac{3}{2})}\).

2) Kładąc np. \(\displaystyle{ z=0}\) mamy pewność, że punkt B będzie różny od A (ostatnie współrzędne obu punktów będą różne). Zgodnie z powyższym z postaci prostej mamy \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y-4=0 \\ 2x-y+5=0 \end{cases}}\). Dodając równania stronami dostajemy \(\displaystyle{ 3x+1=0}\), tj. \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{3}}\). Wtedy musi być \(\displaystyle{ y=4-x=\frac{13}{3}}\). Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ B=(-\frac{1}{3},\frac{13}{3},0)}\).
Inkognito
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 218
Rejestracja: 24 lis 2009, o 10:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wilno
Podziękował: 27 razy

Kat miedzy prosta a plaszczyzna

Post autor: Inkognito »

tego a tu w 2 punkcie kiedy oblicas punk to jeden z kordynatow mozemy brac dowolny
ty jak wzieles ze z=0 analogicnie mozno powiedec ze np x=0 lub y=1 itp.?

poprostu wzielem y=1 i punkt B otsymalem \(\displaystyle{ B(8,1,-5)}\)
przy dalsym rozwiazaniu ostatnia odpowiedz nie zgadza sie

kat = \(\displaystyle{ arcsin \frac{6}{ \sqrt{418} }}\)

Jezeli brac punkt B taki jak napisales tesz sie nie zgadza

-- 29 gru 2010, o 14:16 --

tym sposobem rozwiazania nie otrzymuje poprawnej odpowiedzi
Ostatnio zmieniony 29 gru 2010, o 16:45 przez Inkognito, łącznie zmieniany 1 raz.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Kat miedzy prosta a plaszczyzna

Post autor: lukasz1804 »

Zobaczmy moim sposobem...

3) Mamy \(\displaystyle{ d=\frac{|1\cdot(-\frac{1}{3})+1\cdot\frac{13}{3}+3\cdot 0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+3^2}}=\frac{3\sqrt{11}}{11}}\).

4) \(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(-\frac{1}{3}-\frac{13}{6})^2+(\frac{13}{3}-\frac{10}{3})^2+[0-(-\frac{3}{2})]^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+1+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{38}}{2}}\).

5) \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{d}{|AB|}=\frac{6}{\sqrt{418}}}\).


a teraz biorąc Twój punkt B...

3) Mamy \(\displaystyle{ d=\frac{|1\cdot 8+1\cdot 1+3\cdot(-5)-1|}{\sqrt{1^2+1^2+3^2}}=\frac{7\sqrt{11}}{11}}\).

4) \(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(8-\frac{13}{6})^2+(1-\frac{10}{3})^2+[-5-(-\frac{3}{2})]^2}=\sqrt{\frac{35^2}{36}+\frac{196}{36}+\frac{441}{36}}=\frac{\sqrt{1862}}{6}=\frac{7\sqrt{38}}{6}}\).

5) \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{d}{|AB|}=\frac{6}{\sqrt{418}}}\).

Wynik ten sam.
Co do poprawności rozumowania jestem pewien, gdyż kąt między prostą i płaszczyzną to kąt między tą prostą i jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę.
Inkognito
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 218
Rejestracja: 24 lis 2009, o 10:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wilno
Podziękował: 27 razy

Kat miedzy prosta a plaszczyzna

Post autor: Inkognito »

o rety jaki glupi blad popelnilem mam na jednej katce duzo zadan napisanych dosc mala trzcionka
i zamiast tego rownania plaszczysny uzylem innego z nastepnego zadania zato niemoglem znalesc gde blad
ODPOWIEDZ