Napisz równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P=(2,2,1)}\) i prostopadłej do płaszczyzn:
\(\displaystyle{ x+y+z-2=0\\
x+y+z+2=0}\)
Jutro mam kolokwium, prosiłbym o szybkie wskazówki.
wektory normalne tych 2 pł. to \(\displaystyle{ [1,1,1]}\), ale co z tego wynika?
Równanie ogólne płaszczyzny
Równanie ogólne płaszczyzny
Ostatnio zmieniony 21 gru 2010, o 22:25 przez Crizz, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie ogólne płaszczyzny
Gdyby podane płaszczyzny nie były do siebie równoległe, zadanie miałoby dokładnie jedno rozwiązanie. To zadanie natomiast ma nieskończenie wiele rozwiązań (łatwo to sobie wyobrazić: \(\displaystyle{ P}\) nie należy do żadnej z podanych płaszczyzn. Bierzemy prostą prostopadłą do tych płaszczyzn, przechodzącą przez \(\displaystyle{ P}\). Każda płaszczyzna zawierająca tę prostą będzie spełniała warunki zadania).
Tu możemy zauważyć tylko dwie własności, które spełnia szukana płaszczyzna\(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\):
jej wektor normalny jest prostopadły do \(\displaystyle{ [1,1,1]}\), czyli ich iloczyn skalarny wynosi zero - \(\displaystyle{ A+B+C=0}\)
płaszczyzna przechodzi przez punkt P, zatem \(\displaystyle{ 2A+2B+C+D=0}\)
Z pierwszego równania możemy wyznaczyć \(\displaystyle{ A+B}\) i wstawić do drugiego równania:
\(\displaystyle{ -2C+C+D=0}\)
\(\displaystyle{ D-C=0}\)
\(\displaystyle{ C=D}\)
W równaniu szukanej płaszczyzny: zostawiamy A, B mozemy uzależnić od C i A (\(\displaystyle{ B=-C-A}\)), znamy zależność D od C (\(\displaystyle{ D=C}\)), czyli udało nam się przedstawić wzór ogólny szukanej płaszczyzny zależny od dwóch parametrów: \(\displaystyle{ Ax+(-A-C)y+Cz+C=0}\). Każda para liczb \(\displaystyle{ (A,C)}\) (poza \(\displaystyle{ A=C=0}\)) wyznacza rozwiązanie zadania.
Gdyby te dwie dane płaszczyzny nie były równoległe, to zadanie byłoby proste: liczysz iloczyn wektorowy ich wektorów normalnych i masz wektor normalny szukanej płaszczyzny.
Tu możemy zauważyć tylko dwie własności, które spełnia szukana płaszczyzna\(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\):
jej wektor normalny jest prostopadły do \(\displaystyle{ [1,1,1]}\), czyli ich iloczyn skalarny wynosi zero - \(\displaystyle{ A+B+C=0}\)
płaszczyzna przechodzi przez punkt P, zatem \(\displaystyle{ 2A+2B+C+D=0}\)
Z pierwszego równania możemy wyznaczyć \(\displaystyle{ A+B}\) i wstawić do drugiego równania:
\(\displaystyle{ -2C+C+D=0}\)
\(\displaystyle{ D-C=0}\)
\(\displaystyle{ C=D}\)
W równaniu szukanej płaszczyzny: zostawiamy A, B mozemy uzależnić od C i A (\(\displaystyle{ B=-C-A}\)), znamy zależność D od C (\(\displaystyle{ D=C}\)), czyli udało nam się przedstawić wzór ogólny szukanej płaszczyzny zależny od dwóch parametrów: \(\displaystyle{ Ax+(-A-C)y+Cz+C=0}\). Każda para liczb \(\displaystyle{ (A,C)}\) (poza \(\displaystyle{ A=C=0}\)) wyznacza rozwiązanie zadania.
Gdyby te dwie dane płaszczyzny nie były równoległe, to zadanie byłoby proste: liczysz iloczyn wektorowy ich wektorów normalnych i masz wektor normalny szukanej płaszczyzny.