Odległość czterech punktów od prostej

[HitTive]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Punkty A=(3;-4) i B=(7;2) są jednakowo oddalone od prostej k. Również punkty C=(-2;5) i D=(-4;1) są jednakowo oddalone od prostej k. Ponadto żaden punkt odcinka AD i odcinka BC nie należy do prostej k. Wyznacz równanie prostej k.

[lukasz1804]

Zauważ najpierw, że \(\displaystyle{ k}\) nie jest prostą o równaniu postaci \(\displaystyle{ x=p}\) dla żadnej wartości \(\displaystyle{ p\in\mathbb{R}}\).
Zatem istnieją \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\) takie, że \(\displaystyle{ y=ax+b}\), tj. \(\displaystyle{ ax-y+b=0}\).
Stąd, z założenia i ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy

\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{|3a+4+b|}{\sqrt{a^2+1}}&=\frac{|7a-2+b|}{\sqrt{a^2+1}} \\ \frac{|-2a-5+b|}{\sqrt{a^2+1}}&=\frac{|-4a-1+b|}{\sqrt{a^2+1}}\end{cases}}\),

tj.

\(\displaystyle{ \begin{cases}|3a+4+b|&=|7a-2+b| \\ |-2a-5+b|&=|-4a-1+b|\end{cases}}\).

Z otrzymanych par wartości \(\displaystyle{ (a,b)}\) i ostatniego założenia zadania dostajemy (przez odrzucenie jednego z rozwiązań) równanie prostej \(\displaystyle{ k}\).