Oblicz odległości

[Inspector]

Witam! Mam problem z dwoma podpunktami w zadaniu o treśći:
Oblicz odległości
1)prostych równoległych \(\displaystyle{ L1: \frac{x-1}{1}= \frac{x+1}{2}= \frac{z}{-1} L2: \frac{x}{-2}= \frac{y-1}{-4}= \frac{z-3}{2}}\)
2)prostych \(\displaystyle{ L1: \frac{x-9}{4}= \frac{y-2}{-3}= \frac{z}{1} L2: \frac{x}{-2}= \frac{y+7}{9}= \frac{z-2}{2}}\)

Bardzo proszę o rozwiązanie tych dwóch przykładów, gdyż sam nawet nie wiem z której strony się do nich zabrać

[Crizz]

2.) zapisujemy równania tych prostych w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ L_1: \begin{cases} x=4t+9 \\ y=-3t+2 \\ z=t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ L_2: \begin{cases} y=-2s \\ y=9s-7 \\ z=2s+2 \end{cases}}\)

Najpierw sprawdzamy, czy proste się nie przecinają, czyli rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4t+9=-2s \\ -3t+2=9s-7 \\ t=2s+2 \end{cases}}\)
(jeśli wyjdzie oznaczony, to się przecinają, czyli ich odległość wynosi 0)

Jeśli układ wyjdzie sprzeczny, to znajdujemy wektor prostopadły do kierunków obu prostych (czyli obliczamy \(\displaystyle{ \vec{u}=[4,-3,1] \times [-2,9,2]=[-15,-10,30]}\)), a następnie szukamy takiego wektora, który:
zaczyna się w pewnym punkcie \(\displaystyle{ L_1}\)
kończy się w pewnym punkcie \(\displaystyle{ L_2}\)
jest równoległy do \(\displaystyle{ \vec{u}}\)

Dla pewnych \(\displaystyle{ s,t}\) możemy szukany wektor zapisać jako \(\displaystyle{ \vec{r}=[-2s-(4t+9),9s-7-(-3t+2),2s+2-t]}\). Skoro \(\displaystyle{ \vec{r} \parallel \vec{u}}\), to istnieje takie niezerowe \(\displaystyle{ k}\), że\(\displaystyle{ \vec{u}=k\vec{r}}\), czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2s-(4t+9)=-15k \\ 9s-7-(-3t+2)=-10k \\2s+2-t=30k \end{cases}}\)
Rozwiązujesz układ równań, podstawiasz \(\displaystyle{ s,t}\) do wektora, a jego długość to szukana odległość podanych prostych.-- 12 grudnia 2010, 23:29 --Pierwsze będzie prostsze: weź dowolny punkt prostej \(\displaystyle{ L_1}\) i znajdź wektor, który:
Kończy się w tym punkcie
Zaczyna w pewnym punkcie \(\displaystyle{ L_2}\) (czyli współrzędne jego początku można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ [-2t,-4t+12t+3]}\), jak będzie wynikać z równania parametrycznego tej prostej)
Jest prostopadły do kierunku \(\displaystyle{ L_1}\) (czyli iloczyn skalarny szukanego wektora z wektorem \(\displaystyle{ [1,2,-1]}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\)).
Długość znalezionego wektora znów będzie szukaną odległością prostych.

[Inspector]

ten 2 przykład wydaje mi się dosyć jasny ale czy mógł byś rozpisać go do końca,a co do pierwszego niezbyt go rozumiem, możesz troszkę jaśniej to wyjaśnić?

[Crizz]

1.) Bierzemy najbardziej oczywisty punkt prostej \(\displaystyle{ L_1}\), czyli \(\displaystyle{ A=(1,-1,0)}\). Szukamy wektora \(\displaystyle{ \vec{BA}}\), gdzie B jest pewnym punktem prostej \(\displaystyle{ L_2}\). Przekształcamy równanie prostej \(\displaystyle{ L_2}\) do postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ L_2: \begin{cases} x=-2t \\ y=-4t+1 \\ z=-2t+3 \end{cases}}\)

Dla pewnego t możemy zatem przedstawić współrzędne punktu B jako \(\displaystyle{ B(-2t,-4t+1,-2t+3)}\), skąd \(\displaystyle{ \vec{BA}=[1+2t,-1+4t-1,2t-3]}\). Wystarczy teraz rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \vec{BA} \circ [1,2,-1]=0}\) i otrzymujesz współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{BA}}\), którego długość jest szukana odległością prostych.

Co do przykładu 2., to nie wiem, co rozumiesz przez "rozpisać do końca". Jeśli coś jest niejasne, to pytaj, ale układu równań za Ciebie nie rozwiążę.