Bardzo proszę o szybką odpowiedź, bo jutro mam kolokwium z zadań tego typu :<
1) Na prostej
\(\displaystyle{ l:\begin{cases} 2x+y+z+8=0 \\ x-4y-2z-5=0 \end{cases}}\)
znaleźć punkt \(\displaystyle{ P}\) oddalony o \(\displaystyle{ 5}\) jednostek od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) o równaniu
\(\displaystyle{ \pi: 3x-6y+2z-10=0}\)
2)Przez punkt \(\displaystyle{ A}\) poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do rzutu prostej \(\displaystyle{ l}\) na płaszczyznę
\(\displaystyle{ \pi : x+y+z+1=0}\)
\(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z}{3}}\)
\(\displaystyle{ A=(1,2,1)}\)
3)Napisać równanie prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącej przez punkt przecięcia prostych
\(\displaystyle{ l1:\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{-1}}\)
\(\displaystyle{ l2:\frac{x+3}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{1}}\)
i prostopadłej do obu tych prostych.
EDIT: Z dwoma zadaniami już sobie poradziłem (2 i 3). Pozostało tylko pierwsze, ale tutaj już sobie nie poradzę bez pomocy jakiegoś matematyka :<
Znaleźć punkt P oddalony o 5 jednostek od płaszczyzny pi
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 12 gru 2010, o 17:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
Znaleźć punkt P oddalony o 5 jednostek od płaszczyzny pi
A mógłbyś podzielić się swoimi rozwiązaniami zadań 2 i 3, albo chociaż napisać schemat rozwiązania, bo mam te zadania pozaczynane i nie wiem co dalej...
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Znaleźć punkt P oddalony o 5 jednostek od płaszczyzny pi
Co do zadania pierwszego, to skorzystaj ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny:
Odległość punktu \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\)
Zapisujesz zatem warunek \(\displaystyle{ \frac{|3x-6y+2z-10|}{\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+2^{2}}}=5}\). Współrzędne szukanego punktu muszą go spełniać, podobnie jak muszą spełniać podane równanie prostej.
Opuszczasz moduł bez zmiany znaków i otrzymujesz równanie liniowe (trzecie do kompletu, wraz z tymi w równaniu prostej). Rozwiązujesz układ i masz jeden z szukanych punktów.
Opuszczasz moduł ze zmianą znaków i znów otrzymujesz równanie liniowe (trzecie do kompletu). Rozwiązujesz układ i masz drugi z szukanych punktów.
(może być oczywiście tak, że istnieje tylko jeden taki punkt, albo że go wcale nie ma - okaże się przy rozwiązywaniu tych dwóch układów równań).
Odległość punktu \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\)
Zapisujesz zatem warunek \(\displaystyle{ \frac{|3x-6y+2z-10|}{\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+2^{2}}}=5}\). Współrzędne szukanego punktu muszą go spełniać, podobnie jak muszą spełniać podane równanie prostej.
Opuszczasz moduł bez zmiany znaków i otrzymujesz równanie liniowe (trzecie do kompletu, wraz z tymi w równaniu prostej). Rozwiązujesz układ i masz jeden z szukanych punktów.
Opuszczasz moduł ze zmianą znaków i znów otrzymujesz równanie liniowe (trzecie do kompletu). Rozwiązujesz układ i masz drugi z szukanych punktów.
(może być oczywiście tak, że istnieje tylko jeden taki punkt, albo że go wcale nie ma - okaże się przy rozwiązywaniu tych dwóch układów równań).