Znaleźć punkt P oddalony o 5 jednostek od płaszczyzny pi

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
karol1234
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 10 gru 2010, o 18:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: polska

Znaleźć punkt P oddalony o 5 jednostek od płaszczyzny pi

Post autor: karol1234 »

Bardzo proszę o szybką odpowiedź, bo jutro mam kolokwium z zadań tego typu :<

1) Na prostej
\(\displaystyle{ l:\begin{cases} 2x+y+z+8=0 \\ x-4y-2z-5=0 \end{cases}}\)
znaleźć punkt \(\displaystyle{ P}\) oddalony o \(\displaystyle{ 5}\) jednostek od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) o równaniu
\(\displaystyle{ \pi: 3x-6y+2z-10=0}\)

2)Przez punkt \(\displaystyle{ A}\) poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do rzutu prostej \(\displaystyle{ l}\) na płaszczyznę
\(\displaystyle{ \pi : x+y+z+1=0}\)

\(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z}{3}}\)

\(\displaystyle{ A=(1,2,1)}\)

3)Napisać równanie prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącej przez punkt przecięcia prostych
\(\displaystyle{ l1:\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{-1}}\)
\(\displaystyle{ l2:\frac{x+3}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{1}}\)
i prostopadłej do obu tych prostych.

EDIT: Z dwoma zadaniami już sobie poradziłem (2 i 3). Pozostało tylko pierwsze, ale tutaj już sobie nie poradzę bez pomocy jakiegoś matematyka :<
bluevelvet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 12 gru 2010, o 17:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Znaleźć punkt P oddalony o 5 jednostek od płaszczyzny pi

Post autor: bluevelvet »

A mógłbyś podzielić się swoimi rozwiązaniami zadań 2 i 3, albo chociaż napisać schemat rozwiązania, bo mam te zadania pozaczynane i nie wiem co dalej...
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Znaleźć punkt P oddalony o 5 jednostek od płaszczyzny pi

Post autor: Crizz »

Co do zadania pierwszego, to skorzystaj ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny:

Odległość punktu \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\)

Zapisujesz zatem warunek \(\displaystyle{ \frac{|3x-6y+2z-10|}{\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+2^{2}}}=5}\). Współrzędne szukanego punktu muszą go spełniać, podobnie jak muszą spełniać podane równanie prostej.

Opuszczasz moduł bez zmiany znaków i otrzymujesz równanie liniowe (trzecie do kompletu, wraz z tymi w równaniu prostej). Rozwiązujesz układ i masz jeden z szukanych punktów.

Opuszczasz moduł ze zmianą znaków i znów otrzymujesz równanie liniowe (trzecie do kompletu). Rozwiązujesz układ i masz drugi z szukanych punktów.

(może być oczywiście tak, że istnieje tylko jeden taki punkt, albo że go wcale nie ma - okaże się przy rozwiązywaniu tych dwóch układów równań).
ODPOWIEDZ