Punkt paraboli leżący najbliżej prostej

[DBoniem]

Który z punktów paraboli \(\displaystyle{ y=6 x^{2}}\) leży najbliżej prostej \(\displaystyle{ x-y+5=0}\)
\(\displaystyle{ x-y+5=0 ,
-y=-5-x ,
y=5+x}\)
za y wstawiając \(\displaystyle{ 6 x^{2}}\) otrzymuję , że

\(\displaystyle{ -6x^{2}+x+5=0}\)
rozwiązując to równanie otrzymuję, że \(\displaystyle{ X_{1}=1 X _{2}=- \frac{5}{6}}\)

dla\(\displaystyle{ x=1 y=6}\)
dla \(\displaystyle{ x=-\frac{5}{6} y=4 \frac{1}{6},}\) lecz dla \(\displaystyle{ y=6x^{2} y=25}\)
\(\displaystyle{ 4 \frac{1}{6} \neq 25}\)

Więc rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ pkt(1,6)}\)
Czy dobrze rozwiązane zadanie?

[mat_61]

Nie do końca.

Jeżeli prosta i parabola mają punkty wspólne, to właśnie te punkty paraboli należą do tych leżących najbliżej prostej (odległość tych punktów od prostej wynosi 0)

Skoro rozwiązałeś układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=6x^2 \\ x-y+5=0 \end{cases}}\)

i otrzymałeś dwa wyniki (dwie pary liczb) to znaczy, że obydwa punkty należą zarówno do prostej jak i paraboli (jeżeli układ jest rozwiązany poprawnie), czyli obydwa punkty są rozwiązaniem zadania. Wstawienie tych punktów do wyjściowych równań może mieć tylko charakter sprawdzający poprawność rozwiązania i jeżeli się nie zgadza, to znaczy, że źle rozwiązałeś układ równań.

W Twoim przykładzie, otrzymałeś jako jedno z rozwiązań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=- \frac{5}{6} \\ y=4 \frac{1}{6} \end{cases}}\)

a następnie wstawiłeś x do równania \(\displaystyle{ y=6x^{2}}\)

\(\displaystyle{ y=6x^{2}=6 \cdot \left( - \frac{5}{6} \right)^{2}=6 \cdot \frac{25}{36} = \frac{25}{6} =4 \frac{1}{6}}\)

czyli wszystko się zgadza

[DBoniem]

źle obliczyłem nie podniosłem do 2 potęgi, teraz się zgadza czyli tymi punktami są
\(\displaystyle{ P1(1,6)}\)i \(\displaystyle{ P2( -\frac{5}{6},4 \frac{1}{6})}\)?

[mat_61]

Tak.