okręgi, trójkąty, planimetria, przygotowanie do spr.

[Mati =)]

Witam,

Prosiłbym o pomoc do 5zadań, które muszę rozwiązać z 50. xD

A więc:

Zad 1(6.37)
Punkt B jest symetryczny do punktu \(\displaystyle{ A= (4,-1)}\) względem dwusiecznej kąta pierwszej ćwiartki układu współrzędnych. Oblicz długość odcinka AB.

Zad 2(6.51)

Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych w ten sposób, że początek układu jest środkiem odcinka tej prostej zwartego między prostymi \(\displaystyle{ 2x+y+5=0}\) oraz \(\displaystyle{ x-y-1=0}\)

Zad 3(6.55)
W trójkącie ABC dane są wierzchołki \(\displaystyle{ A=(-4,2)}\) i \(\displaystyle{ B=(5,-1)}\) oraz punkt \(\displaystyle{ M=(3,3)}\) przecięcia wysokości tego trójkąta. Oblicz pole trójkąta ABC.

Zad 4(6.58) - zrobione już
Wyznacz równanie prostej zawierającej cięciwę okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}-2x-3=0}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ A=(2,- \frac{1}{2} )}\) jest środkiem tej cięciwy.

Zad 5(6.60)
Dane są dwie proste l1 o równaniu \(\displaystyle{ 3x-y-4=0}\) i l2 o równaniu \(\displaystyle{ 2x+6y+3=0}\)
Napisz równanie dwusiecznej tego kąta zawartego między danymi prostymi, w którym leży początek układu współrzędnych.

Z GÓRY DZIĘKI ZA POMOC

-- 9 gru 2010, o 22:46 --

Zad 4(6.58) już sobie z nim poradziłem...

-- 9 gru 2010, o 22:56 --

Ale za to mam inne zadanie.

Zad 6(6.54)
Pole rombu jest równe 10. Przeciwległe wierzchołki A i C tego rombu mają współrzędne \(\displaystyle{ A=(1,1)}\) i \(\displaystyle{ C=(3,5)}\). Znaleźć współrzędne wierzchołków B i D.

[Inkwizytor]

Zad 5(6.60)
Dane są dwie proste l1 o równaniu \(\displaystyle{ 3x-y-4=0}\) i l2 o równaniu \(\displaystyle{ 2x+6y+3=0}\)
Napisz równanie dwusiecznej tego kąta zawartego między danymi prostymi, w którym leży początek układu współrzędnych.

Metoda 1
Może to nie najprostszy pomysł ale pewny
(Zwróć uwagę że będą dwie dwusieczne - jedna prostopadła do drugiej)

1. Szukasz punktu przecięcia A
2. Obierasz dowolny B na jednej z prostych (obliczasz długość AB)
3. Szukasz punktu C na drugiej prostej tak by |AB|=|AC|
4. Znajdujesz D - środek odcinka BC (Trójkąt ABC jest równoramienny)
5. Prosta przechodząca przez A i D jest dwusieczną

Metoda 2
Można również pobawić się we wzory redukcyjne na tangensach (współczynniki kierunkowe prostych)

-- 10 gru 2010, o 08:11 --

Zad 6(6.54)
Pole rombu jest równe 10. Przeciwległe wierzchołki A i C tego rombu mają współrzędne \(\displaystyle{ A=(1,1)}\) i \(\displaystyle{ C=(3,5)}\). Znaleźć współrzędne wierzchołków B i D.

Skojarz następujące fakty:
- wzór na pole rombu
- odcinek AC tworzy przekątną
- przekątne przecinają się pod kątem prostym (punkt S) i dzielą się na połowy
- \(\displaystyle{ \vec{BS}= \vec{SD}}\)

-- 10 gru 2010, o 08:15 --

Zad 3(6.55)
W trójkącie ABC dane są wierzchołki \(\displaystyle{ A=(-4,2)}\) i \(\displaystyle{ B=(5,-1)}\) oraz punkt \(\displaystyle{ M=(3,3)}\) przecięcia wysokości tego trójkąta. Oblicz pole trójkąta ABC.

Trzy kluczowe informacje by zbudować układ równań:
- Prosta AM jest prostopadła do BC (warunek prostopadłości prostych)
- Prosta BM jest prostopadła do AC
- C leży na przecięciu AC i BC-- 10 gru 2010, o 08:20 --

Zad 2(6.51)

Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych w ten sposób, że początek układu jest środkiem odcinka tej prostej zwartego między prostymi \(\displaystyle{ 2x+y+5=0}\) oraz \(\displaystyle{ x-y-1=0}\)

\(\displaystyle{ S=(0,0) \\
k: \ \ 2x+y+5=0 \\
t: \ \ x-y-1=0 \\
A \in k \wedge B \in t \\
\vec{AS}= \vec{SB}}\)
Oraz fakt że S jest środkiem odcinka AB

[Mati =)]

Dzięki, wskazówki się przydały.

[1Zielona1]

To może ja Ci podpowiem to.

Zad 1(6.37)
Punkt B jest symetryczny do punktu \(\displaystyle{ A= (4,-1)}\) względem dwusiecznej kąta pierwszej ćwiartki układu współrzędnych. Oblicz długość odcinka AB.

a)Prosta, która jest dwusieczną kąta pierwszej ćwiartki ma wzór \(\displaystyle{ y=x}\).
Skoro punkty A i B są względem siebie symetryczne, to leżą na prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ y=x}\).
Należy zapisać równanie tej prostopadłej czyli \(\displaystyle{ y= -x +b}\) i w celu obliczenia "b" podstaw współrzędne punktu A.

b)Następnie wylicz z układu równań punkt wspólny obu tych prostych: \(\displaystyle{ y=x}\) oraz tej prostopadłej. Otrzymasz ich punkt wspólny S.

c)oblicz długość odcinka AS.
Długość AB jest dwa razy większa.

Gdybyś w przypływie gorliwości chciał wyliczyć współrzędne symetrycznego punktu B, to:

d) Wiadomo, że wektor AS jest równy wektorowi SB. Zapiszesz, że \(\displaystyle{ B= (x,y)}\) jak również jego współrzędne. Potem korzystając z równości pierwszej i drugiej współrzędnej równych wektorów wyliczysz współrzędne punktu B.