Wyznacz równania prostych - przekątne kwadratu

[ysiulec]

Całe zadanie brzmi tak:
Dwa sąsiednie wierzchołki kwadratu mają współrzędne (0,0) i (6, -2). Wyznacz równania prostych zawierających przekątne tego kwadratu.
Rysunek mocno podglądowy:

AU

vRkxt.gif (891 Bajtów) Przejrzano 325 razy

I teraz jak to zadanie widzę:
Przyjmę A(0,0) i B(6,-2).
Wzór do wyznaczenia równania tej prostej to:
\(\displaystyle{ y- y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{ x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})}\)
Po podstawieniu wychodzi:
\(\displaystyle{ y = -\frac{2}{6} \cdot x}\)

\(\displaystyle{ y = -\frac{1}{3}x}\) - to wzór na prostą AB.

Potrzebuję teraz wyznaczyć wzór na prostą BC, aby otrzymać wzór na przekątną AC.
Mając AC, mogę wyznaczyć przekątną BD, po prostu \(\displaystyle{ a_{1}=- \frac{1}{a}}\)
Czy dobrze rozumuję?

[piasek101]

Dokładnie się nie wpatrywałem - co z tego wykminisz, zobaczymy - istnieją dwa takie kwadraty.

[1Zielona1]

Ysiulec
Bardzo dobrze rozumujesz.

Prostą AB już sobie obliczyłeś, to \(\displaystyle{ y=- \frac{1}{3}x}\)

A dalej.. zapewne i Ty tak myślisz:
a) wyznaczymy prostej BC prostopadłej do AB. To \(\displaystyle{ y=3x-20}\).
Obliczymy również długość boku kwadratu, to \(\displaystyle{ \sqrt{40}}\)
(i nie trzeba wyłączać w nim czynnika przed znak pierwiastka ponieważ znak pierwiastka wkrótce Ci się skróci, gdy w równaniu na długość odcinka obie strony podniesiesz do kwadratu).

b) mając przyjęte \(\displaystyle{ C=(x,y)}\), obliczoną długość boku \(\displaystyle{ BC=\sqrt{40}}\) i prostą BC: \(\displaystyle{ y=3x-20}\) na której ten bok leży, utworzysz układ równań i wyliczysz z niego współrzędne punktu C.
Będą, jak podpowiada Ci kolega dwie jego opcje C i C' (nad punktem B i pod punktem B).

c) mając obliczone współrzędne punktu C, wyliczysz równanie przekątnej AC i prostopadłej do niej DB tak jak napisałeś na końcu swego postu.
Powodzenia.

[xiikzodz]

Oznaczmy \(\displaystyle{ A=(0,0), B=(6,-2)}\).
Niech \(\displaystyle{ u=B-A=(6,-2)}\) będzie wektorem reprezentującym dany bok kwadratu. Wektory \(\displaystyle{ v_1=(2,6)}\) oraz \(\displaystyle{ v_2=(-2,-6)}\) są do \(\displaystyle{ v}\) prostopadłe i mają tę samą co on długość. Wówczas wektory \(\displaystyle{ d_1=u+v_1=(8,4)}\) oraz \(\displaystyle{ d_2=u+v_2=(4,-8)}\) kwadratu (niezależnie od tego, na który z dwóch możliwych kwadratów się zdecydujemy). Zatem równania szukanych prostych przechodzących przez \(\displaystyle{ A=(0,0)}\) to

\(\displaystyle{ d_1\circ(x,y)=0}\), czyli \(\displaystyle{ 8x+4y=0}\)

oraz

\(\displaystyle{ d_2\circ(x,y)=0}\), czyli \(\displaystyle{ 4x-8y=0}\).

Symbolem \(\displaystyle{ \circ}\) oznaczam iloczyn skalarny.

Rysunek:



Oto seria innych przykładów na to, z jaką uporczywością mąci się uczniom w głowach wzorami zamiast prezentować to, co proste i uniwersalne:

post450385.htm#p450385
post450804.htm#p450804
post484411.htm#p484411
post561255.htm#p561255
post568856.htm#p568856
post863477.htm#p863477
post864916.htm#p864916
232199.htm#p864916