Wektory, wektory, wektory...

prbhary · Post autor: **prbhary** » 6 gru 2010, o 00:25

Witam!
Mam wielką prośbę... proszę o pomoc w rozwiązaniu pierwszych trzech zadań z tej kartki... kombinuje i kombinuje ale nic nie mogę wymyślić... jak zwykle moje problemy z analityczną
4 i 5 zrobiłam, ale tych trzech pierwszych nie moge ogarnac... Proszę o ich możliwe rozwiązanie, ale z wytłumaczeniem, gdyż nie jest to zadanie domowe, które mogę "odpisac" i wszystko bedzie po klopocie, tylko przykładowe zadania na kolokwium... Chciałabym na przykładzie rozwiązanego je zrozumieć

P.S.
Przepisuję jeszcze raz z LaTeXem, bo moj temat z zeskanowanymi zadaniami wyladowal w koszu...

1. Oblicz \(\displaystyle{ (\vec{a} + \vec{b}) \circ (\vec{a} + \vec{b})}\) wiedząc że \(\displaystyle{ \left|\vec{a} \right|=1 \left|\vec{b} \right|=5}\) a kąt między tymi wektorami wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\).

2. Oblicz długość przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a} = 2\vec{p}+ \vec{q}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b} = \vec{p} - 2\vec{q}}\) , gdzie \(\displaystyle{ \vec{p}}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}}\) są wektorami jednostkowymi tworzącymi kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\)

3. Znajdź długość wektora \(\displaystyle{ \vec{a} = 6\vec{p}- 8\vec{q}}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ \vec{p}}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}}\) są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.

Z góry dziękuję za wszystkie rozwiązania i wytłumaczenia!
Magda

JankoS · Post autor: **JankoS** » 6 gru 2010, o 01:15

1.\(\displaystyle{ (\vec{a} + \vec{b}) \circ (\vec{a} + \vec{b})=\vec{a}^ 2+2\vec{a}\circ \vec{b}+\vec{b}^2=\vec{a}^ 2+2\left| \vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b} \right| \cdot cos \frac{\pi}{3}+\vec{b}^2 =1+2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}+25.}\)
3. \(\displaystyle{ \left|\vec{a} \right| = \sqrt{\left( 6\vec{p}- 8\vec{q}\right)^2 }= \sqrt{36\vec{p}^2-2 \cdot 6 \cdot \vec{p} \cdot 8\vec{q}+648\vec{q}^2}= \sqrt{100-96cos0}=10.}\)

prbhary · Post autor: **prbhary** » 6 gru 2010, o 20:28

JankoS pisze: 3. \(\displaystyle{ \left|\vec{a} \right| = \sqrt{\left( 6\vec{p}- 8\vec{q}\right)^2 }= \sqrt{36\vec{p}^2-2 \cdot 6 \cdot \vec{p} \cdot 8\vec{q}+648\vec{q}^2}= \sqrt{100-96cos0}=10.}\)

Hmm a wynik nie powinien byc raczej 2? bo z tego co pamietam to cos0 to 1...
Dziekuje!

JankoS · Post autor: **JankoS** » 6 gru 2010, o 23:41

prbhary pisze:
JankoS pisze:
Hmm a wynik nie powinien byc raczej 2?

Powinien. Przepraszam.
A wracając do zadań. Drugie można zrobić (?) przy pomocy twierdzenia Carnota.