najmniejsza odległość między prostą a parabolą
-
szymek12
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
najmniejsza odległość między prostą a parabolą
Dana jest parabola o równaniu \(\displaystyle{ y ^{2}=4x}\) i prosta o równaniu \(\displaystyle{ y= 2x+4}\). Czy prawdą jest, że najmniejsza odległość między tą prostą a parabolą istnieje dla punktu, który jest punktem wspólnym paraboli i prostej stycznej do paraboli, która jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ y=2x+4}\). Jeśli tak, to jak to udowodnić?
-
DrJeckyll
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 23:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Przestrzeń Banacha
- Pomógł: 13 razy
najmniejsza odległość między prostą a parabolą
Ogólnie jest to prawda. Później może pomyślę nad formalnym dowodem. O ile znajdę czas i chęci(nie lubię geometrii analitycznej).
-
ccyyffrraa
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 24 wrz 2009, o 18:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 8 razy
najmniejsza odległość między prostą a parabolą
Tak jak napisał to DrJeckyll jest to prawda. Załóżmy, że parabolę o równaniu \(\displaystyle{ y = ax^2 + bx + c}\) (\(\displaystyle{ a \neq 0}\), bo to parabola) i rozłączną z nią prostą \(\displaystyle{ l: \ y = gx + h}\), wtedy odległość punktu paraboli o współrzędnych \(\displaystyle{ (x, ax^2 + bx + c)}\) będzie się wyrażać funkcją f(x). Szukamy wzoru na f(x) - korzystam ze wzoru na odległość punktu od prostej:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{|gx - (ax^2 + bx + c) + h|}{\sqrt{g^2 + (-1)^2}} = \frac{|gx - ax^2 - bx - c + h|}{\sqrt{g^2 + 1}}}\)
Ponieważ prosta i parabola są rozłączne to \(\displaystyle{ t(x) = gx - ax^2 - bx - c + h \neq 0}\), z ciągłości t(x) mamy \(\displaystyle{ gx - ax^2 - bx - c + h < 0 \vee gx - ax^2 - bx - c + h > 0}\). Ze względu na moduł funkcja f(x) (mianownik jest stały) przyjmuję wartość minimalną dla wierzchołka t(x):
\(\displaystyle{ t(x) = gx - ax^2 - bx - c + h = - ax^2 + (g - b)x + h - c\\ x_w = \frac{-g+b}{-2a} = \frac{g - b}{2a}}\)
Teraz znajdziemy punkt na paraboli:
\(\displaystyle{ y = a\left(\frac{g - b}{2a}\right)^2 + b*\frac{g - b}{2a} + c = \frac{(g - b)^2}{4a} + \frac{b(g - b)}{2a} + c = \frac{g^2 - 2gb + b^2 + 2bg - 2b^2}{4a} + c = \frac{g^2 - b^2}{4a} + c}\)
Prowadzimy przez punkt \(\displaystyle{ \left(\frac{g - b}{2a}, \frac{g^2 - b^2}{4a} + c\right)}\) równoległą do naszej prostej:
\(\displaystyle{ y = gx + z\\ \frac{g^2 - b^2}{4a} + c = g*\frac{g - b}{2a}+z\\ z = \frac{g^2-b^2 - 2g^2 + 2bg}{4a} + c = c - \frac{(b - g)^2}{4a}\\ y = gx + c - \frac{(b - g)^2}{4a}}\)
Teraz zostało sprawdzić, że ta prosta i parabola mają tylko jeden punkt wspólny:
\(\displaystyle{ gx + c - \frac{(b - g)^2}{4a} = ax^2 + bx + c\\ gx - \frac{(b - g)^2}{4a} = ax^2 + bx\\ ax^2 + (b - g)x + \frac{(b - g)^2}{4a} = 0\\ \Delta = (b - g)^2 - 4a*\frac{(b - g)^2}{4a} = 0}\)
co kończy dowód
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{|gx - (ax^2 + bx + c) + h|}{\sqrt{g^2 + (-1)^2}} = \frac{|gx - ax^2 - bx - c + h|}{\sqrt{g^2 + 1}}}\)
Ponieważ prosta i parabola są rozłączne to \(\displaystyle{ t(x) = gx - ax^2 - bx - c + h \neq 0}\), z ciągłości t(x) mamy \(\displaystyle{ gx - ax^2 - bx - c + h < 0 \vee gx - ax^2 - bx - c + h > 0}\). Ze względu na moduł funkcja f(x) (mianownik jest stały) przyjmuję wartość minimalną dla wierzchołka t(x):
\(\displaystyle{ t(x) = gx - ax^2 - bx - c + h = - ax^2 + (g - b)x + h - c\\ x_w = \frac{-g+b}{-2a} = \frac{g - b}{2a}}\)
Teraz znajdziemy punkt na paraboli:
\(\displaystyle{ y = a\left(\frac{g - b}{2a}\right)^2 + b*\frac{g - b}{2a} + c = \frac{(g - b)^2}{4a} + \frac{b(g - b)}{2a} + c = \frac{g^2 - 2gb + b^2 + 2bg - 2b^2}{4a} + c = \frac{g^2 - b^2}{4a} + c}\)
Prowadzimy przez punkt \(\displaystyle{ \left(\frac{g - b}{2a}, \frac{g^2 - b^2}{4a} + c\right)}\) równoległą do naszej prostej:
\(\displaystyle{ y = gx + z\\ \frac{g^2 - b^2}{4a} + c = g*\frac{g - b}{2a}+z\\ z = \frac{g^2-b^2 - 2g^2 + 2bg}{4a} + c = c - \frac{(b - g)^2}{4a}\\ y = gx + c - \frac{(b - g)^2}{4a}}\)
Teraz zostało sprawdzić, że ta prosta i parabola mają tylko jeden punkt wspólny:
\(\displaystyle{ gx + c - \frac{(b - g)^2}{4a} = ax^2 + bx + c\\ gx - \frac{(b - g)^2}{4a} = ax^2 + bx\\ ax^2 + (b - g)x + \frac{(b - g)^2}{4a} = 0\\ \Delta = (b - g)^2 - 4a*\frac{(b - g)^2}{4a} = 0}\)
co kończy dowód