Odległość punktu w przestrzeni od drugiej strony

jeff · Post autor: **jeff** » 26 lis 2010, o 11:51

Witam,
Mam taki oto problem matematyczny.

Mam punkt w przestrzeni oraz 3 inne punkty o znanych współrzednych.
Do każdego z tych punktów znam odległość mojego punktu. Potrzebuję wyznaczyć współrzedne mojego punktu (x,y,z).

Zacząłem nieźle. Ułożyłem układ 3 równań kwadratowych z 3 niewiadomymi. (każde na znaną odległość pomiędzy punktami)
Rozwiązanie tego układu metoda tradycyjną (wyliczanie pierwiastków i podstawianie) trochę mnie przerasta.

Czy jest jakiś ogólny znany wzór na takie obliczenia? albo metoda na rozwiązanie takiego układu równań?

pozdrawiam

scyth · Post autor: **scyth** » 26 lis 2010, o 12:00

Nie wyznaczysz jednoznacznie takiego punktu - mogą być dwa, jeden albo wcale. Może też być ich nieskończenie wiele, w zależności od ułożenia punktów A, B i C.
Masz to wyliczyć "ręcznie"? Czy możesz jakimś kalkulatorem? Możesz podać dane?

jeff · Post autor: **jeff** » 26 lis 2010, o 12:16

scyth:
Punkt taki na pewno istnieje bo problem jest czysto fizyczny a jedynie metoda wyliczenia jest matematyczna. Liczył będę to oczywiście w jakimś algorytmie.

Dane przykładowe można sobie łatwo wymyślić. Załóżmy że nasze punkty o znanych wierzchołkach
mają współrzędne. (0,0,1),(0,1,0),(1,0,0). Mamy też punkt z którego odległość do każdego z tych punktów równa \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) Wiadomo więc, że jest to wierzchołek sześcianu o boku 1 i początku (0,0,0)
i ma szukane współrzędne (1,1,1). Chodzi teraz o to aby to wyliczyć ze wzoru a nie zgadywać.

W przypadku najbardziej ogólnym będzie to zawsze ostrosłup o znanej podstawie i znanych długościach wszystkich boków. Chodzi więc tylko o współrzędne czwartego wierzchołka.

scyth · Post autor: **scyth** » 26 lis 2010, o 12:20

Nie zawsze istnieje i nie zawsze istnieje tylko jeden - problem jest czysto matematyczny
Masz rację, że punkt (1,1,1) jest dobry. A co z punktem \(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right)}\)? Też pasuje.

jeff · Post autor: **jeff** » 26 lis 2010, o 12:26

scyth pisze:Nie zawsze istnieje i nie zawsze istnieje tylko jeden - problem jest czysto matematyczny
Masz rację, że punkt (1,1,1) jest dobry. A co z punktem \(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right)}\)? Też pasuje.

A dlaczego miałby być dobry taki punkt? przecież jego odległość od tych punktów jest zupełnie inna niż \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

scyth · Post autor: **scyth** » 26 lis 2010, o 12:30

No to policz jeszcze raz. Albo ja policzę:
\(\displaystyle{ \sqrt{\left( 0-\left( -\frac{1}{3}\right) \right)^2 + \left( 0-\left( -\frac{1}{3}\right) \right)^2 + \left( 1-\left( -\frac{1}{3}\right) \right)^2 } =
\sqrt{\left(\frac{1}{3} \right)^2 + \left(\frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{4}{3} \right)^2 } =\\=
\sqrt{ \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9} } =
\sqrt{ \frac{18}{9} } = \sqrt{2}}\)

jeff · Post autor: **jeff** » 26 lis 2010, o 12:55

no faktycznie, wychodzi ten pierwiastek z dwóch. Ale ten punkt możemy odrzucić bo z założenia wszystkie punkty znajdują się w pierwszej ćwiartce i są dodatnie.

scyth · Post autor: **scyth** » 26 lis 2010, o 12:57

No to weź sobie punkty (1,1,2), (1,2,1) i (2,1,1) i odległość \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) - masz dwa rozwiązania z pierwszej ćwiartki.
No dobra, bo coś pisałeś o ostrosłupie - możesz napisać dokładniej, co będziesz miał dane i czego będziesz szukał?

jeff · Post autor: **jeff** » 26 lis 2010, o 13:26

Z szacunkiem ale chyba coś mieszasz scyth. Odległość punktu (1,1,2) jest inna niż pierw.z 2 od punktów które podałem.Na moje oko są to: 2,23;2,23;1,73
To co mam i czego szukam napisałem wcześnej.

scyth · Post autor: **scyth** » 26 lis 2010, o 13:34

Napisałeś wcześniej, że mogę sobie wymyślić punkty, no to masz - trzy punkty i szukasz punktu odległego od nich o \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), dostaniesz dwa rozwiązania o wszystkich współczynnikach dodatnich.

To może inaczej:
1. bierzesz pierwszy punkt. Wszystkie punkty odległe od niego o ileśtam tworzą sferę
2. bierzesz drugi punkt - masz drugą sferę. Te dwie sfery:
2.1. mogą nie mieć punktów wspólnych
2.2. mogą mieć dokładnie jeden punkt wspólny (styczne zewnętrznie lub wewnętrznie)
2.3. mogą mieć nieskończenie wiele punktów wspólnych - część wspólna (przecięcie dwóch sfer) to okrąg
3. trzeci punkt i jego sfera
3.1. jeśli było 2.1 - brak rozwiązań
3.2. jeśli było 2.2 - trzecia sfera musi być styczna do tych dwóch, tutaj masz dokładnie jedno rozwiązanie
3.3. przecięcie sfery i okręgu może być albo jednym punktem (styczne), albo dwoma (przecinają się), albo nieskończenie wiele (okrąg należy do sfery, trzeci punkt jest środkiem okręgu, który powstaje z przecięcia dwóch pierwszych sfer).

Lepiej nie umiem tego wytłumaczyć.

jeff · Post autor: **jeff** » 26 lis 2010, o 13:47

A już rozumiem o co Ci chodziło z tymi punktami (1,1,2)....to ja namieszałem
Założenie jest takie że w moim układzie odniesienia punkty kontrolne zawsze będą w takim samym położeniu.
Co więcej możemy sobie uprościć, że istnieje 4 punkt (o znanych współrzędnych) do którego też znamy odległość. Czy coś to w czymś pomoże? W zasadzie zasada ustalenia tego punktu jest taka sama w jakiej działa GPS...

scyth · Post autor: **scyth** » 26 lis 2010, o 13:51

To jak masz 4 punkty to już masz jednoznaczność. Ale "na kartce" będzie Ci ciężko to rozwiązać, najlepiej użyj jakiegoś gotowego narzędzia do obliczenia współrzędnych (czyli rozwiązania układu równań).

jeff · Post autor: **jeff** » 26 lis 2010, o 14:23

to raczej odpada bo mam do obliczenia kilka milionów takich punktów....
Może jeszcze ktoś coś wymyśli.

-- 26 lis 2010, o 15:51 --

a już wiem jak to policzyć...trzeba do poprzednich równań dodać równania trzech prostych przecinających się w jednym punkcie-- 26 lis 2010, o 20:14 --To jednak nie jest takie proste. Jeśli macie jakieś pomysły to pomóżcie...