Styczna do krzywej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Voltago
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 31 paź 2010, o 10:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: bydgoszcz
Podziękował: 8 razy

Styczna do krzywej

Post autor: Voltago »

Znajdź równanie stycznej do krzywej \(\displaystyle{ y^{2}=8x}\) w punkcie przecięcia z \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=9}\).

Punkt przecięcia znalazłem bez problemu \(\displaystyle{ (1,2\sqrt{2}}\)) ale jak znaleźć styczną do krzywej w tym przypadku nie mam pojęcia.
Ostatnio zmieniony 21 lis 2010, o 11:18 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty, między tagami [latex], [/latex].
Awatar użytkownika
aga.gmail
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 13 cze 2010, o 15:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Styczna do krzywej

Post autor: aga.gmail »

Ta krzywa bedzie miała dwie styczne, druga w punkcie przeciecia który ominołęś \(\displaystyle{ (1,-2 \sqrt{2})}\)
Następnie szukamy prostej o wzorze \(\displaystyle{ y=ax+b}\)
która jest styczna do krzywej\(\displaystyle{ y^2=8x}\)

powstaje wiec układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2=8x \\ y=ax+b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2=8x \\ y^2=a^2x^2+2abx+b^2 \end{cases}}\)

po podstawieniu za \(\displaystyle{ y^2}\) mamy:
\(\displaystyle{ a^2x^2+2abx-8x+b^2=0}\)
Aby równanie miało jedno rozwiazanie delta musi równać się 0.
\(\displaystyle{ 4a^b^2-32ab+64-4a^2b^2}\)
z tego otzymujemy
\(\displaystyle{ ab=2}\)

wracając do pierwszego układu
powstaje wiec układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2=8x \\ y=ax+b \end{cases}}\)
wiemy że wspólny punkt to \(\displaystyle{ (1,2 \sqrt{2})}\) lub \(\displaystyle{ (1,-2 \sqrt{2})}\)
wstawiamy wiec te współrzędne do równania (pierwsze jest tożsamosciowe więc je pominę) :
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}=a+b}\) lub\(\displaystyle{ -2 \sqrt{2}=a+b}\)
Teraz mamy dwa rownania z a i b, tworzymy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=2 \sqrt{2} \\ ab=2 \end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=-2 \sqrt{2} \\ ab=2 \end{cases}}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b= \sqrt{2} \\ a= \sqrt{2} \end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=- \sqrt{2} \\ a=- \sqrt{2} \end{cases}}\)

więc szukane proste to:
\(\displaystyle{ y=\sqrt{2}x+\sqrt{2}}\)
i
\(\displaystyle{ y=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}}\)
ODPOWIEDZ