Witam
Mam problem z rozwiązaniem zadania:
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A (0,1)}\) i przecianającej okrąg \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} = 4}\) w takich punktach \(\displaystyle{ M}\), \(\displaystyle{ N}\), że \(\displaystyle{ MN = 3,5}\).
Jak to najłatwiej rozwiązać? Próbowałem i wyszedł mi trudny układ równań .
Dzięki i pozdrawiam
Prosta przecinająca okrąg
-
Szczepan92
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 6 mar 2010, o 19:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Prosta przecinająca okrąg
Prosta y=ax+b przechodząca przez A=(0;1) ma równanie y=ax+1 a w postaci ogólnej ax-y+1=0.
Odległość d środka okręgu S=(0;0) od tej prostej jest równa:
\(\displaystyle{ d= \frac{1}{ \sqrt{a^2+1} }}\)
Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ d^2+ \frac{1}{2} \cdot 3,5=2^2}\)
otrzymasz współczynnik a.
Odległość d środka okręgu S=(0;0) od tej prostej jest równa:
\(\displaystyle{ d= \frac{1}{ \sqrt{a^2+1} }}\)
Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ d^2+ \frac{1}{2} \cdot 3,5=2^2}\)
otrzymasz współczynnik a.
-
matmi
- Użytkownik
- Posty: 388
- Rejestracja: 14 lis 2010, o 19:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 40 razy
Prosta przecinająca okrąg
Albo standardowym sposobem ;P
\(\displaystyle{ y=ax+b, A\in y \Rightarrow y=ax+1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=ax+1 \\ x^2+y^2=4 \end{cases}}\), czyli
\(\displaystyle{ x^2+a^2x^2+2ax+1=4 \Leftrightarrow (1+a^2)x^2+2ax-3=0}\) - rozwiązujemy
Otrzymamy współrzędne punktów M i N z parametrem a, następnie policzymy ich odległość i parametr zniknie
\(\displaystyle{ y=ax+b, A\in y \Rightarrow y=ax+1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=ax+1 \\ x^2+y^2=4 \end{cases}}\), czyli
\(\displaystyle{ x^2+a^2x^2+2ax+1=4 \Leftrightarrow (1+a^2)x^2+2ax-3=0}\) - rozwiązujemy
Otrzymamy współrzędne punktów M i N z parametrem a, następnie policzymy ich odległość i parametr zniknie