Udowodnić że trójkąt jest rozwartokątny

[piotrek0324]

Długości boków trójkąta są w stosunku 2:3:4 . Uzasadnij że ten trójkąt jest rozwartokątny.

[sushi]

wykorzystaj twierdzenie cosinusow

niech
\(\displaystyle{ a=2x}\)
\(\displaystyle{ b=3x}\)
\(\displaystyle{ c=4x}\)
...

[Pancernik]

Największy kąt leży na przeciw najdłuższego boku. Czyli we wzorze \(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma}\) kąt \(\displaystyle{ \gamma}\) będzie większy od \(\displaystyle{ 90^\circ}\).

\(\displaystyle{ 4^2=2^2+3^2-2 \cdot 2 \cdot 3\cos\gamma\\
16=4+9-12\cos\gamma\\
3= -12\cos\gamma\\
- \frac{1}{4}=\cos\gamma}\)

Patrząc na wykres cosinusa z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0^\circ ; 180^\circ\right]}\) widzimy, że wartość \(\displaystyle{ - \frac{1}{4}}\) leży w przedziale \(\displaystyle{ \left( 90^\circ ; 180^\circ\right)}\).

A dokładniej

\(\displaystyle{ \frac{1}{4}=\cos\gamma \Rightarrow \gamma \approx 75^\circ\\
- \frac{1}{4}=\cos\gamma \Rightarrow \gamma \approx 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ}\)