Punkty M i N są środkami przekątnych AC i BD czworokąta ABCD. Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ |AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = |AC|^2 + |BD|^2 + 4|MN|^2}\)
Mamy rozwiązać to za pomocą liczb zespolonych.
Wprawdzie wychodzi, jeśli porozpisywać obie strony korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ |a-b|^2 = (a-b)(\overline{a}-\overline{b})}\), ale sprowadza się to do wymnożenia kupy nawiasów i jest bardzo mechaniczne. Czy można do tego podejść cokolwiek sprytniej?