Rozmieszczenie punktów w przestrzni

Papercut · Post autor: **Papercut** » 13 lis 2010, o 11:03

Witam,

mam drobny problem polegający na tym, że muszę mieć punkty równo rozmieszczone w przestrzeni tzn
przykładowo dla zwykłej przestrzeni trójwymiarowej chciałbym mieć 3 punkty ogólnie (X,Y,Z) (Z,X,Y) (Y,Z,X) konkretnie byłoby to np (10,5,2) (2,10,5) (5,2,10).

Wygląda to prosto, ale w przestrzeniach z większą ilością wymiarów się gubię i nie jestem pewien czy np dla przestrzeni siedmiowymiarowej również należy po prostu przesuwać na kolejną pozycję wartość z każdej osi czy też działać inaczej.

Z góry dziękuję za odpowiedzi
jakiś uzasadnienie mile widziane

miki999 · Post autor: **miki999** » 13 lis 2010, o 11:09

A jaka jest definicja "równego rozmieszczenia"? Bo nie rozumiem o co Ci chodzi.

Papercut · Post autor: **Papercut** » 13 lis 2010, o 12:03

Hmm może tak
wyjdźmy od tego tego, że najprostszym przypadkiem byłoby gdybyśmy mieli 3 wymiary i punkty po prostu gdzieś na osiach
(X,0,0) (0,Y,0) (0,0,Z) X=Y=Z
teraz jeśli przesuniemy w pierwszym punkcie powiedzmy o N na osi y to pozostałe punkty muszą się również przesunąć żeby odległości pozostały takie same.
Łatwo to zobaczyć jak się ma kostkę czy jakiś inny sześcian że po takim zabiegu punkty będą wyglądały
(X,N,0) (0,Y,N) (N,0,Z)
Chce po prostu uzyskać to samo w przestrzeni 7 wymiarowej.

miki999 · Post autor: **miki999** » 13 lis 2010, o 12:09

Łatwo to zobaczyć jak się ma kostkę czy jakiś inny sześcian że po takim zabiegu punkty będą wyglądały
(X,N,0) (0,Y,N) (N,0,Z)

W tym przypadku odległości pomiędzy pkt. są inne niż w początkowym.

Papercut · Post autor: **Papercut** » 13 lis 2010, o 13:04

Ok, racja
ale zachowane są proporcje, że tak powiem
|AB|=|Ac|=|BC|
Czyli wychodzi, że chce zachować po prostu równość pewnych odległości.

miki999 · Post autor: **miki999** » 13 lis 2010, o 13:23

Też nie są zachowane

Papercut · Post autor: **Papercut** » 13 lis 2010, o 14:36

Tutaj akurat się mylisz są
Licząc odległością Minkowskiego dla p=3 bo tyle mam wymiarów, wzorem

\(\displaystyle{ d(x,y)= \sqrt[p]{ \sum_{i}^{}\left|x _{i}-y _{i} \right| ^{p} }}\)

Wstawiłem do excela wszystko i tylko zmieniam odpowiednie wartości wymiarów
Proporcje odległości na pewno są takie same

miki999 · Post autor: **miki999** » 13 lis 2010, o 15:24

\(\displaystyle{ |XY| =\sqrt{X^2+(Y-N)^2+N^2} \\ |YZ|=\sqrt{Y^2+(Z-N)^2+N^2}\\ |XZ|=\sqrt{Z^2+(X-N)^2+N^2}}\)
Weźmy \(\displaystyle{ X=1, Y=2,\ Z=3,\ N=4}\) i \(\displaystyle{ |XY|=|YZ| \neq |XZ|}\)

Przypominam jeszcze o warunku trójkąta dla przestrzeni metrycznych.

Zamiana miejscami zmiennych (co jest równoważne zamianie "nazw" (kolejności) osi) nie wpływa na odległość między pkt. jeżeli o to pytasz.

Papercut · Post autor: **Papercut** » 13 lis 2010, o 15:59

O matko boska co ty wyprawiasz, nic dziwnego, że Ci nic równe nie wychodzi jak z punktów w przestrzeni 3wymiarowej wybierasz sobie wartości tylko 2 zmiennych reprezentujących wymiary.

Teraz jeszcze raz myśl z kostką, mamy sześcian oś X jest na dole na lewym boku Y z tyłu Z wychodzi z połączenia do góry.
Mieliśmy na początku punkty (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)
Jak chciałem przesunąć pierwszy punkt o 2 jedn. w kierunku Y, to żeby analogicznie było na pozostałych punktach, ustawiłem kostkę/sześcian tak żeby oś Y była w miejscu gdzie wcześniej była oś X i wyszło że powinienem dodać 2 jednostki do osi Z itd

Dla twoich wartości X=1 Y=2 Z=3 N=4
Punkty A (1,2,3) B (3,1,2) C (2,3,1)

Odległości
\(\displaystyle{ \left| AB\right|= \sqrt[3]{\left|1-3 \right| ^{3}+\left|2-1 \right| ^{3}+\left|3-2 \right| ^{3} }}\)
\(\displaystyle{ \left| AC\right|= \sqrt[3]{\left|1-2 \right| ^{3}+\left|2-3 \right| ^{3}+\left|3-1 \right| ^{3} }}\)
\(\displaystyle{ \left| BC\right|= \sqrt[3]{\left|3-2 \right| ^{3}+\left|1-3 \right| ^{3}+\left|2-1 \right| ^{3} }}\)
Wszędzie odległości około 2,15

Teraz skoro przesuwamy w punkcie A Y o plus 4. a w pozostałych analogicznie
otrzymujemy punkty A (1,6,3) B (3,1,6) C (6,3,1)
Po obliczeniu odległości wychodzą po ~5,43

miki999 · Post autor: **miki999** » 13 lis 2010, o 16:47

O matko boska co ty wyprawiasz, nic dziwnego, że Ci nic równe nie wychodzi jak z punktów w przestrzeni 3wymiarowej wybierasz sobie wartości tylko 2 zmiennych reprezentujących wymiary.

Jak nie potrafi się sprecyzować problemu...

A dla 4 wymiarów jak wyjdzie? Też 3 pkt. mają wyjść? W sumie to żadna kombinacja już nie daje takiego efektu.

Papercut · Post autor: **Papercut** » 13 lis 2010, o 18:51

Dla 4 wymiarów mają być 4 punkty,
Dla N wymiarów N punktów.

Najprostszy przypadek który spełnia wymagania to, gdy punkty są rozmieszczone na osiach poszczególnych wymiarów.
Np. A(5,0,0,0) B(0,5,0,0) C(0,0,5,0) D(0,0,0,5)
poszczególne odległości w takim wypadku wynoszą AB=AC=AD=BC=BD=CD=5,95

Niestety nie udało mi się wydedukować jak punkty powinny się przesuwać kiedy do jakiegoś wymiaru dodamy pewną wartość. Tj. Dla punktów (5,1,0,0) (0,5,1,0) (0,0,5,1) (1,0,0,5) odległości już się nie zgadzają.

Dlatego sądzę, że moje pierwotne założenie, że punkty będą konstruowane tak że jak P1(A,S,D,F) to
P2(F,A,S,D) P3(D,F,A,S) P4(S,D,F,A) jest niesłuszne i wymiary chodzą jakoś inaczej tylko dla 4 wymiarów już nie bardzo mogę sobie pomóc kostką lub czymkolwiek nie mówiąc o 7 które mnie najbardziej interesują