Równanie prostych, które są osiami symetrii hiperboli

[silversurfer]

Witam

Mam takie zadanko:
Znajdź równania prostych, które są osiami symetrii hiperboli
\(\displaystyle{ y = \frac{1}{x-2} + 6}\)

Obliczyłem wierzchołki, wyszło mi \(\displaystyle{ (3 ; 7) ( 1 ; 5)}\)
wiadomo, że \(\displaystyle{ y = ax + b}\)
no to zrobiłem układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7 = 3a + b\\ 5 = a + b \end{cases} \\ \\ \begin{cases} 7 = 3a + b \\ -15 = -3a - 3b \end{cases} \\ \\ a = 1 \\ b = 4}\)
Pierwsza oś symetrii ma równanie \(\displaystyle{ y = x + 4}\)
a druga jest do niej prostopadła czyli \(\displaystyle{ y = -x + 4}\)
Ale nie. Pierwszą mam dobrze, lecz drugą nie... gdzie zrobiłem błąd?

[loitzl9006]

wiesz tylko o tym, ile wynosi \(\displaystyle{ a}\) tej drugiej prostej (a=-1) , natomiast warunek prostopadłości prostych nic nie mówi o współczynniku \(\displaystyle{ b}\). On niekoniecznie musi być równy \(\displaystyle{ 4}\).

Przedstaw równanie jako \(\displaystyle{ y=-x + b}\) i skorzystaj z faktu, że do tej prostej należy punkt \(\displaystyle{ (2;6)}\).

[silversurfer]

No to poszło z górki. \(\displaystyle{ b = 8}\)
ale dlaczego akurat punkt \(\displaystyle{ (2;6)}\) ? Bo jest on pomiędzy wierzchołkami? A co jeśli będę miał bardziej hardcorowe liczby?

[loitzl9006]

To środek symetrii tej hiperboli. Normalnie środek symetrii hiperboli o równaniu \(\displaystyle{ y= \frac{a}{x}}\) jest w punkcie \(\displaystyle{ (0;0)}\) . Co do zadania, to funkcja \(\displaystyle{ y= \frac{1}{x}}\) została przesunięta o wektor \(\displaystyle{ [2;6]}\) i w wyniku tego przesunięcia funkcja przekształciła się w \(\displaystyle{ y= \frac{1}{x-2} +6}\) . Środek symetrii funkcji z zadania jest więc w punkcie \(\displaystyle{ (2;6)}\).

[silversurfer]

Mogę to na chłopski rozum zrobić tak?
\(\displaystyle{ x1 + x2 * \frac{1}{2} = Sx \\ y1 + y2 * \frac{1}{2} = Sy}\)
Sx - to współrzędna środka x i analogicznie z y

Czy to zawsze będzie zgodne?

[loitzl9006]

o co chodzi z x1 , x2 , y1 , y2 ?

[silversurfer]

Po co kombinuję, przecież jasno widać, że ze wzoru łatwo wyciągnąć środek symetrii funkcji

no i teraz trafiły mi się bardziej harde liczby i coś mi nie wychodzi... chyba kwestia pomylenia minusa, mógłbyś sprawdzić?

\(\displaystyle{ y = \frac{7}{x+5} - 9}\)

\(\displaystyle{ ( \sqrt{7} - 5 : \sqrt{7} - 9) ( -\sqrt{7} - 5 : -\sqrt{7} - 9) \\ \\ \\ \begin{cases} \sqrt{7} - 9 = a \sqrt{7} - 5 + b \\ - \sqrt{7} - 9 = -a \sqrt{7} - 5 + b \end{cases} \\ \\ b = -4 \\ a = 1 \\ y = x - 4}\)
i nie chce mi wyjść drugie równanie, robię tak:
\(\displaystyle{ y = ax + b \\ y = -9 \\ x = -5 \\ -9 = -5 + b}\)
coś ten minus przy 5 mi nie pasuje :>
aa już wiem, muszę przedstawić to drugie równanie zawsze \(\displaystyle{ y = -x + b}\) chyba, że w głównym wzorze będzie minus.