punkt P symetryczny do pkt P względem prostej L

[karolaine]

jak w temacie, potrzebuje rozwiązania i to krok po kroku zadania typu
znajdź punkt symetryczny do punktu \(\displaystyle{ P(1,3,1)}\) względem prostej L
\(\displaystyle{ L: \begin{cases} x = 1 + t\\
y = 1 - t\\
z = 3 + 2t \end{cases}}\)

z punktem względem płaszczyzny jakoś dałam mniej więcej radę, ale z prosta nie wiem, co mam za bardzo zrobić
wyznaczyłam wektor \(\displaystyle{ \vec{n} [ 1,-1,2 ]}\)
i \(\displaystyle{ P_0 (1,1,3)}\)
i nie mam pojęcia co dalej...
będę naprawdę wdzięczna za pomoc, bo za tydzień mam kolokwium

[Crizz]

Znajdź wektor \(\displaystyle{ \vec{P'P}}\), gdzie \(\displaystyle{ P'}\) jest rzutem prostokątnym \(\displaystyle{ P}\) na \(\displaystyle{ L}\). Skorzystaj z następujących faktów:

końcem \(\displaystyle{ \vec{P'P}}\) jest \(\displaystyle{ P}\)
początek wektora \(\displaystyle{ P'}\) leży na prostej \(\displaystyle{ L}\)
wektory \(\displaystyle{ \vec{P'P},\vec{n}}\) są prostopadłe, czyli ich iloczyn skalarny jest równy zeru

Jak już znajdziesz ten wektor, to znajdź po prostu obraz punktu \(\displaystyle{ P}\) w przesunięciu o wektor \(\displaystyle{ -2\vec{P'P}}\).

[karolaine]

trochę mi się rozjaśniło
\(\displaystyle{ \vec{P'P} = [ 1 -3, 3 - 1 , 1 - 3] = [0, 2, -2]}\)
to już mniej więcej mam

i \(\displaystyle{ \vec{w} = [1, -1, 2]}\) z parametrów t

więc \(\displaystyle{ \vec{n} = [ 2,- 2, - 2]}\) (czyli iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{n} \cdot \vec{P'P}}\)) ??

podstawiając pod to t wyszedł mi jakiś kolejny wektor: [0, 2, 1]

no i skalarnie \(\displaystyle{ \vec{n} \cdot \vec{P'P}}\) rzeczywiście równa się 0, także sa prostopadłe, ale nie wiem, co mam z tym zrobić dalej??

-- 13 lis 2010, o 19:15 --

podstawiając t
\(\displaystyle{ 2(1+t) - 2(1-t) -2(3+2t) = 0\\
2 + 2t - 2 + 2t - 6 - 4 t = 0}\)
wychodzi \(\displaystyle{ -6 = 0}\)
może gdzieś zrobiłam błąd ?

[Crizz]

\(\displaystyle{ \vec{P'P} = [ 1 -3, 3 - 1 , 1 - 3] = [0, 2, -2]}\)

Jak już wyznaczyłaś ten wektor, to po co liczyć dalej?

Przeczytaj jeszcze raz dokładnie to, co napisałem. Punktu \(\displaystyle{ P'}\) przecież nie znamy.