Twierdzenie o odc ...

[Simong]

Piałem raz już jeden ten post ale nie widze aby wyskoczył więc proszę modów i adminów, aby go nei wyrzucali:

Mam taki problem: mam udowodnić twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta.

Doszedłem do tego żę:


Z. E jest środkiem AB i F jest środkiem BC

T. |EF|=1/2 |AC| i EF || AC

Tylko co dalej jak to udowodnić?? Proszę orzeczowy dowód krok po kroku

[baksio]

Można udowodnić z małego twierdzenia Talesa:
Przyjmijmy że bok \(\displaystyle{ |AC|=a}\) a bok \(\displaystyle{ |AB|=c}\)
\(\displaystyle{ \frac{|EF|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|}}\)
\(\displaystyle{ |EF|*c = a * \frac{1}{2}c}\)
\(\displaystyle{ |EF| = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}|AC|}\)

[Uzo]

Z:
ABC - dowolny trójąt
E-środek boku AC
F-środek boku BC

T:
AB||EF
|AB|=2|EF|

Zrób sobie odpowiedni rysunek i zauważ
\(\displaystyle{ \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF} \\
\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}}\)

dodając równania stronami :
\(\displaystyle{ 2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}}\)
,czyli
\(\displaystyle{ 2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}}\)

z określenia wektorów równych :

AB||EF i |AB|=2|EF|