Wyznaczyć wektory w danym prostokącie

[szprynia123]

Dany jest prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\). Wektor \(\displaystyle{ \vec{AB} = \vec{3p}}\), zaś \(\displaystyle{ \vec{AD}= \vec{4q}}\). Wyznaczyć wektory \(\displaystyle{ \vec{AM} , \vec{AN}}\) i \(\displaystyle{ \vec{MN}}\) w zależności od wektorów \(\displaystyle{ \vec{p}}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}}\), wiedząc że \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są odpowiednio środkami boków \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ BC}\).

[lukasz1804]

Ponieważ w każdym równoległoboku (w szczególności w prostokącie) istnieją dwie pary boków równoległych i równej długości, to mamy \(\displaystyle{ |DC|=|AB|, |BC|=|AD|}\), więc także \(\displaystyle{ \vec{DC}=\vec{AB}=3\vec{p}, \vec{BC}=\vec{AD}=4\vec{q}}\).
Co więcej \(\displaystyle{ \vec{DM}=\frac{1}{2}\vec{DC}=\frac{3}{2}\vec{p}, \vec{BN}=\frac{1}{2}\vec{BC}=2\vec{q}}\). Stąd i z definicji sumy wektorów jest \(\displaystyle{ \vec{AM}=\vec{AD}+\vec{DM}=4\vec{q}+\frac{3}{2}\vec{p}, \vec{AN}=\vec{AB}+\vec{BN}=3\vec{p}+2\vec{q}}\).
Mamy dalej \(\displaystyle{ \vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}=\vec{MC}-\vec{NC}=\frac{1}{2}\vec{DC}-\frac{1}{2}\vec{BC}=\frac{3}{2}\vec{p}-2\vec{q}}\).

Pozdrawiam