Wzajemne położenie prostej K i okręgu O

[AndrzejKalamus]

Określ wzajemne położenie prostej K i okręgu O, jeżeli
O: \(\displaystyle{ (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=25}\)
K: \(\displaystyle{ y=x+3}\)

Z góry dzięki.

[Sherlock]

Wrzuć drugie równanie do pierwszego i rozwiąż równanie kwadratowe. Brak rozwiązań - prosta nie przecina okręgu, jedno rozwiązanie - prosta jest styczną, dwa rozwiązania - prosta przecina okrąg.

[AndrzejKalamus]

Mógłbyś bardziej pomóc? Dopiero ten temat w szkole zaczęliśmy i nie bardzo wiem jak to zrobić.

[Sherlock]

Podstaw \(\displaystyle{ y=x+3}\) do \(\displaystyle{ (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=25}\). Podnieś do kwadratu oba nawiasy, uporządkuj, otrzymasz równanie kwadratowe. Wylicz deltę, znając jej wartość będzie wiedział ile równanie ma rozwiązań.
Proponuję wykonać też rysunek (narysuj okrąg i prostą).

[AndrzejKalamus]

\(\displaystyle{ (x+1) ^{2}+(y-2) ^{2} =25}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} +2 \cdot x \cdot 1+1 ^{2}+y ^{2} -2 \cdot y \cdot 2+2 ^{2} =25}\)
po dokonaniu paru obliczeń..:p
\(\displaystyle{ 2x ^{2} +8x-4y=11}\)
Zapewne coś pomyliłem, skoro mi taki wynik wyszedł. :/

[Sherlock]

Tutaj \(\displaystyle{ (x+1) ^{2}+(y-2) ^{2} =25}\) podstaw za y \(\displaystyle{ y=x+3}\). Będziesz miał równanie z jedną niewiadomą - x.

[Crizz]

Można też tak:

Wzór na odległość punktu od prostej:

Odległość punktu \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) od prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}\).

Oblicz odległość środka okręgu \(\displaystyle{ (-1,2)}\) od prostej \(\displaystyle{ x-y+3=0}\). Jeśli jest:
mniejsza od promienia, to prosta przecina okrąg
równa promieniowi, to prosta jest styczna do okręgu
większa od promienia, to prosta i okrąg są rozłączne