Wyznacz wierzchołek C

volcik15 · Post autor: **volcik15** » 28 paź 2010, o 18:17

Punkty \(\displaystyle{ A=(1, \sqrt{3}) \ B=(5,5 \sqrt{3})}\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Wyznacz współrzędne wierzchołka C.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 28 paź 2010, o 19:00

Wskazówka:

Oblicz długość boku tego trójkąta. Przyrównaj długości boków |AC| oraz |BC| do tej długości. Otrzymasz układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi.

volcik15 · Post autor: **volcik15** » 28 paź 2010, o 19:14

Ten układ równan ma tak wygladac?

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{c}-1+y_{c}- \sqrt{3}=8 \\ x_{c}-5+y_{c}-5 \sqrt{3}=8 \end{cases}}\)?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 28 paź 2010, o 19:28

Nie bardzo.
Jaki jest wzór na odległość dwóch punktów. Ten który zastosowałeś do obliczenia długości boku |AB|?

volcik15 · Post autor: **volcik15** » 28 paź 2010, o 19:47

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{(x_{c}-1)^{2}+(y_{c}- \sqrt{3})^{2}}=8 \\ \sqrt{(x_{c}-5)^{2}+(y_{c}-5 \sqrt{3})^{2}}=8 \end{cases}}\)

W taki sposób?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 28 paź 2010, o 19:57

Tak.

Gdybyś miał problemy z rozwiązaniem tego układu równań (*), to możesz zrobić też tak:

- napisać równanie prostej prostopadłej do AB przechodzącej przez środek odcinka AB: \(\displaystyle{ y_{c}=ax_{c}+b}\) i wstawić tą zależność do dowolnego z powyższych równań.

(*) oczywiście nie jest to jakieś skomplikowane:
- podnieś obydwie strony równań do kwadratu,
- odejmij stronami
- wyznacz zależność \(\displaystyle{ x_{c} \ od \ y_{c} \ , \ czyli \ x_{c}=....}\)
- wstaw tą zależność do dowolnego z równań

volcik15 · Post autor: **volcik15** » 30 paź 2010, o 15:33

Współrzędne te to \(\displaystyle{ y_{c}= \frac{4 \sqrt{3} }{3}\ x_{c}=5}\)?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 30 paź 2010, o 17:01

Niestety nie.

1) Po pierwsze powinny być 2 rozwiązania (wyobraź sobie jakbyś rozwiązywał to zadanie graficznie - wierzchołek C może przecież leżeć "po obydwu stronach" prostej AB)

2) Napisz całe swoje rachunki, to wtedy będzie można zobaczyć gdzie masz błąd.

volcik15 · Post autor: **volcik15** » 31 paź 2010, o 11:15

Zrobiłem teraz troche inaczej. Wyznaczyłem \(\displaystyle{ x_{c}= \frac{1}{2}x_{c}^{2}+ \frac{1}{2}y_{c}^{2}- \sqrt{3}y_{c}-30}\)
Doszedłem do równania \(\displaystyle{ x_{c}^{2}+y_{c}^{2}=84}\) Co dalej z tym zrobić?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 31 paź 2010, o 11:34

Nie bardzo widzę przydatność tego równania do dalszych rachunków.

W poście z 28.10.2010 8:57 napisałem Ci w drugiej części 4 proste kroki prowadzące do prostego równania kwadratowego:

\(\displaystyle{ y^{2}- ... y+ ... =0}\)

Co stoi na przeszkodzie, żebyś w ten sposób zrobił to zadanie?

Oczywiście nie znaczy to, że nie istnieje inny sposób rozwiązania (jeden z nich podałem Ci w tym samym poście) ale po co prowadzić "dalsze poszukiwania" skoro droga (a nawet dwie) jest znana?

volcik15 · Post autor: **volcik15** » 31 paź 2010, o 11:48

Hmm. Odejmij stronami to znaczy jak? Bo nie rozumiem chyba tego.

piotru64 · Post autor: **piotru64** » 31 paź 2010, o 11:55

Proponuję pierwsze wyznaczyć odległość dwu punktów od siebie, co da nam długość boku trójkąta która oznaczmy a. Policzmy wysokość trójkąta ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego. Policzmy współrzędne środka odcinka AB. I tutaj mamy kilka wyjść jak policzyć odległość wierzchołka od podstawy AB. Po pierwsze możemy wyznaczyć równanie prostej która przechodzi przez punkty A i B, następnie prostą prostopadła do niej przechodzącą przez punkt S który jest środkiem odcinka AB na tej prostej leży punkt C który jest wierzchołkiem trójkąta, wiec za pierwszą współrzędną wstawiamy x a za drugą y wstawiamy równanie prostej, w ten sposób otrzymamy zależność z jedna niewiadomą. Teraz liczymy odległość prostej przechodzącej przez punkty A i B od punktu C. Wychodzi nam jedna niewiadoma którą należy wyznaczyć. Wynikiem będą dwa punkty.

Inną metoda to np. policzenie odległości punktu S od punktu C.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 31 paź 2010, o 14:05

volcik15 pisze:Hmm. Odejmij stronami to znaczy jak? Bo nie rozumiem chyba tego.

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x_{c}-1)^{2}+(y_{c}- \sqrt{3})^{2}=64 \\ (x_{c}-5)^{2}+(y_{c}-5 \sqrt{3})^{2}=64 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ (x_{c}-1)^{2}+(y_{c}- \sqrt{3})^{2}-[(x_{c}-5)^{2}+(y_{c}-5 \sqrt{3})^{2}]=64-64}\)

Teraz podnieś do kwadratu wszystkie nawiasy (zauważ, że skrócą się wszystkie drugie potęgi), poredukuj co trzeba i wyznacz \(\displaystyle{ x_{c}=...}\)

Następnie tą wartość \(\displaystyle{ x_{c}}\) wstaw do pierwszego z tych równań.