wektory, pole rozpiętego na nich równoległoboku

[doolloress]

Dane są wektory \(\displaystyle{ \vec{u}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\) o długościach \(\displaystyle{ |\vec{u}|=2}\) i \(\displaystyle{ |\vec{v}|=3}\) tworzące kat 120stopni. Znajdź pole równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{u}-2\vec{v}}\) i \(\displaystyle{ 3\vec{u}+2\vec{v}}\).

No to tak: z własności iloczynu wektorowego obliczyłam, że: \(\displaystyle{ |\vec{u}\times \vec{v}|=3 \sqrt{3}}\)
i jeszcze z własności iloczynu skalarnego to, że \(\displaystyle{ \vec{u}\circ \vec{v}=-3}\).
Narazie nie widzę światła w tunelu...

[ares41]

Oznaczmy :
\(\displaystyle{ \vec{a} = \vec{u}-2 \vec{v}}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}= 3\vec{u} +2 \vec{v}}\)

Mamy:
\(\displaystyle{ \vec{a}=[u_x-2v_x;u_y-2v_y]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} =[3u_x+2v_x;3u_y+2v_y]}\)

Pole szukanego równoległoboku to:
\(\displaystyle{ | \vec{a} \times \vec{b} |=\left|det\left[\begin{array}{ccc}{u_x-2v_x}&{u_y-2v_y}\\{3u_x+2v_x}&{3u_y+2v_y}\end{array}\right]\right|=\\
|(u_x-2v_x)(3u_y+2v_y)-(3u_x+2v_x)(u_y-2v_y)|=|3u_xu_y+2u_xv_y-6u_yv_x-4v_yv_x-3u_xu_y+6u_xv_y-2u_yv_x+4v_xv_y|=|2u_xv_y-2u_yv_x-6u_yv_x+6u_xv_y|=|2(u_xv_y-u_yv_x)+6(u_xv_y-u_yv_x)|=|8(u_xv_y-u_yv_x)|=|8| \vec{u} \times \vec{v}||=8 \cdot | \vec{u}| | \vec{v} |sin \alpha}\)

[doolloress]

aaa zapomniałam powiedzieć, że to ma być w R3...

[ares41]

Robisz analogicznie.

[doolloress]

nie do końca analogicznie, bo nie tak łatwo się to wymnoży, jak w przypadku 2x2. Spróbuję...

Edit:
Nawet nie wiem jak
\(\displaystyle{ | \vec{a} \times \vec{b} |=\left|det\left[\begin{array}{ccc}{u_x-2v_x}&{u_y-2v_y}&{u_z-2v_z}\\{3u_x+2v_x}&{3u_y+2v_y}&{3u_z+2v_z}\end{array}\right]\right|=?}\)

[Crizz]

ares41, rozumiem, że chciałeś policzyć wyznacznik pary wektorów, bo nie istnieje coś takiego, jak iloczyn wektorowy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\).

Pole równoległoboku rozpiętego na dwóch danych wektorach jest równe wartości bezwzględnej ich iloczynu wektorowego. Znamy długości potrzebnych do obliczeń wektorów i kąt między nimi, zupełnie nas nie interesuje wymiar przestrzeni (powiedzmy, że jest równy co najmniej 3 - tak, żeby iloczyn wektorowy miał sens) i liczymy:

\(\displaystyle{ (\vec{u}-2\vec{v}) \times (3\vec{u}+2\vec{v})=3\vec{u} \times \vec{u}+2\vec{u} \times \vec{v}-6\vec{v} \times \vec{u}-4\vec{v} \times \vec{v}=2\vec{u} \times \vec{v}+6\vec{u} \times \vec{v}=8\vec{u} \times \vec{v}=8 \cdot | \vec{u}| | \vec{v} |sin \alpha}\)

Prościej?

[doolloress]

nie wpadłam na TAK proste rozwiązanie, dziękuję Crizz

ale nie wiem jak przeszedłeś z kroku \(\displaystyle{ 3\vec{u} \times \vec{u}+2\vec{u} \times \vec{v}-6\vec{v} \times \vec{u}-4\vec{v} \times \vec{v}}\) do kroku \(\displaystyle{ 2\vec{u} \times \vec{v}+6\vec{u} \times \vec{v}}\) ?

zupełnie tak, jakby się zgubiło \(\displaystyle{ 3\vec{u} \times \vec{u}}\) oraz \(\displaystyle{ -4\vec{v} \times \vec{v}}\)

EDIT:
racja, obliczyłam sobie to z pseudowyznacznika, i rzeczywiście, racja, racja...-- 24 paź 2010, o 14:06 --tylko, że po obliczeniach wychodzi mi \(\displaystyle{ 24 \sqrt{3}}\) zamiast 24. Może jest pomyłka w odpowiedziach.