Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty: \(\displaystyle{ P _{1} (2; -1; 4), P _{2} (1; -1; 5)}\) i prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ H: x-2y+z-4=0}\).
Kombinowałam na różne sposoby, ale czuję się tak, jakby brakowało jakichś danych.
płaszczyzny prostopadłe w przestrzeni trójwymiarowej
-
doolloress
płaszczyzny prostopadłe w przestrzeni trójwymiarowej
nie za bardzo bawimy się w wyznaczniki... a czy da się wyznaczyć wektor prostopadły do wektora [1; -2;1] ? wtedy wszystko byłoby okay
chyba, że mógłbyś pokazać mi takie dobre równanie wyznacznikowe dla tego przypadku
chyba, że mógłbyś pokazać mi takie dobre równanie wyznacznikowe dla tego przypadku
-
doolloress
płaszczyzny prostopadłe w przestrzeni trójwymiarowej
a skąd wiesz?
tzn. widzę, że sobie mogłeś to łatwo podstawić, ale czy istnieje jakiś wzór konkretny, schemat, dzięki czemu można wykombinować prostopadły wektor do danego?
tzn. widzę, że sobie mogłeś to łatwo podstawić, ale czy istnieje jakiś wzór konkretny, schemat, dzięki czemu można wykombinować prostopadły wektor do danego?
-
pawc
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 19 maja 2010, o 21:46
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: krk
- Pomógł: 1 raz
płaszczyzny prostopadłe w przestrzeni trójwymiarowej
takich wektorów w R3 jest nieskonczenie wiele. ważne by iloczyn skalarny danej pary był równy 0. jest wzór na wektor prostopadły do dwóch ustalonych. też wyznacznikowy:)
-
doolloress
płaszczyzny prostopadłe w przestrzeni trójwymiarowej
lool okay. dziękuję. Widziałam przed chwilą w tablicach matematycznych ten wzór wyznacznikowy chyba, ale nie chcę sobie mącić w głowie, bo tego i tak nie będzie na kolokwium. gut
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
płaszczyzny prostopadłe w przestrzeni trójwymiarowej
Widzę, że problem rozwiązany, ale skoro już napisałem...
Jeśli czułaś, ze brakowało Ci jakichś danych, to może dlatego, ze równań każdej płaszczyzny jest nieskończenie wiele .
Jeden ze sposobów:
Niech szukaną płaszczyzną będzie \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). Wtedy:
skoro płaszczyzna jest prostopadła do danej, to ich wektory normalne są też prostopadłe, czyli
\(\displaystyle{ [A,B,C] \cdot[1,-2,1]=0\\
A-2B+C=0}\)
skoro pierwszy z podanych punktów należy do płaszczyzny, to \(\displaystyle{ 2A-B+4C+D=0}\)
skoro drugi z podanych punktów należy do płaszczyzny, to \(\displaystyle{ A-B+5C+D=0}\)
Mamy zatem układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A-2B+C=0 \\ 2A-B+4C+D=0 \\ A-B+5C+D=0 \end{cases}}\)
Wystarczy znaleźć przykładowe rozwiązanie tego układu równań (spróbować dla \(\displaystyle{ A=1}\), jeśłi wyjdzie sprzeczny, to dla \(\displaystyle{ A=0}\)).
Inny sposób:
Wektor normalny do szukanej płaszczyzny będzie prostopadły do wektora normalnego podanej płaszczyzny \(\displaystyle{ [1,-2,1]}\) oraz do wektora łączącego podane punkty \(\displaystyle{ [2-1,-1+1,4-5]}\), możemy go zatem wyznaczyć jako iloczyn wektorowy tych wektorów (wyznacznik jest do policzenia, ale prostszy).
Jeśli czułaś, ze brakowało Ci jakichś danych, to może dlatego, ze równań każdej płaszczyzny jest nieskończenie wiele .
Jeden ze sposobów:
Niech szukaną płaszczyzną będzie \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). Wtedy:
skoro płaszczyzna jest prostopadła do danej, to ich wektory normalne są też prostopadłe, czyli
\(\displaystyle{ [A,B,C] \cdot[1,-2,1]=0\\
A-2B+C=0}\)
skoro pierwszy z podanych punktów należy do płaszczyzny, to \(\displaystyle{ 2A-B+4C+D=0}\)
skoro drugi z podanych punktów należy do płaszczyzny, to \(\displaystyle{ A-B+5C+D=0}\)
Mamy zatem układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A-2B+C=0 \\ 2A-B+4C+D=0 \\ A-B+5C+D=0 \end{cases}}\)
Wystarczy znaleźć przykładowe rozwiązanie tego układu równań (spróbować dla \(\displaystyle{ A=1}\), jeśłi wyjdzie sprzeczny, to dla \(\displaystyle{ A=0}\)).
Inny sposób:
Wektor normalny do szukanej płaszczyzny będzie prostopadły do wektora normalnego podanej płaszczyzny \(\displaystyle{ [1,-2,1]}\) oraz do wektora łączącego podane punkty \(\displaystyle{ [2-1,-1+1,4-5]}\), możemy go zatem wyznaczyć jako iloczyn wektorowy tych wektorów (wyznacznik jest do policzenia, ale prostszy).