Wierzchołki i ogniska hiperboli

[milka333]

Zadanie brzmi:
Znaleźć współrzędne wierzchołków oraz ognisk hiperboli \(\displaystyle{ x \cdot y=5}\).

Nie mam pojęcia co zrobić z tą funkcją
Proszę o wskazówki

[szw1710]

Musisz tak zmienić układ współrzędnych wprowadzając nowe osie \(\displaystyle{ x',y'}\), żeby równanie miało postać

\(\displaystyle{ (x')^2-(y')^2=a^2}\)

Stąd piszemy natychmiast współrzędne ognisk, a potem wracamy do starego układu.

W sytuacji powyższego równania osie układu sa osiami symetrii hiperboli. Przy równaniu \(\displaystyle{ xy=5}\) osiami symetrii są proste \(\displaystyle{ y=x}\) i \(\displaystyle{ y=-x}\). Stąd łatwy wniosek: te proste muszą być osiami nowego układu, więc trzeba "stary" układ obrócić o \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\) (są wzory na obrót układu). Potem trzeba równanie \(\displaystyle{ xy=5}\) przepisać na nowy układ.

[milka333]

Rozumiem tę koncepcję, jednak jak znaleźć nowe osie? Czy \(\displaystyle{ a^2}\) w powyższym równaniu to to samo \(\displaystyle{ a}\) w tym równaniu \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1}\)? Bo chodzi o to, by w nowym układzie równanie \(\displaystyle{ xy=5}\) stało się równaniem w postaci kanonicznej?

[szw1710]

Jest tak jak mówisz. A że hiperbola \(\displaystyle{ xy=5}\) jest równoosiowa, w nowym układzie będzie miała równanie

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2}=1}\),

czyli takie, jak napisałem. Nie chciało mi się pisać ułamków Więc nowe osie też będą jak napisałem: w starym układzie proste \(\displaystyle{ y=\pm x}\). Stąd konieczny jest obrót układu o \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\).

[milka333]

Przelewanie myśli na papier jest jednak nieco trudne... pytanie kontrolne: ogniska mi wyszły w punktach \(\displaystyle{ C_{1}=(-1,0)}\), \(\displaystyle{ C _{2}=(1,0)}\), wierzchołki w \(\displaystyle{ W_{1}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i \(\displaystyle{ W_{2}=- \frac{ \sqrt{2} }{2}}\). Czy to są poprawne wartości? Jeżeli nie, będę szukała błędów

[szw1710]

Nie, np. wierzchołki w starym układzie to \(\displaystyle{ \left( \sqrt{5},\sqrt{5}\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( -\sqrt{5},-\sqrt{5}\right)}\)

Ogniska też nie te, bo w starym układzie leżą na prostej \(\displaystyle{ y=x}\).

[milka333]

Rozumiem koncepcję, ale nie wiem dokładnie jak zrobić, więc krok po kroku... Proszę o poprawki
Obliczam \(\displaystyle{ x^{'}}\) i \(\displaystyle{ y ^{'}}\)
(*) \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{'} =x \frac{ \sqrt{2} }{2}-y \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y ^{'}=x \frac{ \sqrt{2} }{2}+y \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases}}\)
Potem podstawiłam to do \(\displaystyle{ (x')^2-(y')^2=a^2}\), ale wyszło mi, że \(\displaystyle{ a^2=-2xy}\), czyli
\(\displaystyle{ a^2=-10}\) (bo \(\displaystyle{ xy=5}\)). Skoro to sprzeczność, trzeba poszukać jakiegoś innego rozwiązania.

Pomyślałam, że rozwiążę (*) dla \(\displaystyle{ y=0}\), ale wyniki wyszły mi nie takie jakie powinny, więc dalej tego pisać już nie będę (to miały być wierzchołki, i wtedy bym miała \(\displaystyle{ a}\), potem skorzystałam z własności \(\displaystyle{ c^2=a^2+a^2}\))

[szw1710]

Musisz na odwrót - policzyć z tego układu x,y, bo to stary układ, a potem wstawić do równania xy=5, a wtedy wszystko musi pięknie wyjść. NIe startujesz od \(\displaystyle{ a^2}\), tylko go wyliczysz.

[milka333]

Wiem, że trudno mi to wchodzi, ale wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{ \sqrt{2} }(x^2+y^2)}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{ \sqrt{2} }(x^2-y^2)}\)

Równanie mam takie: \(\displaystyle{ (y')^2-(x')^2=10}\)
Czy zmienne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mogą wyjść w tej kolejności? Czy ma to większe znaczenie? Bo jak zamienię je miejscami to \(\displaystyle{ a^2}\) znów będzie ujemne. Sprawdzałam te działania kilka razy i zawsze to samo wychodzi.

[szw1710]

Raczej nie powinno się przestawić, bo obrót nie zamieni kolejności osi. A rozwiązanie układu (*) nie powinno zawierać kwadratów. Po prostu rozwiąż ten układ wyliczając \(\displaystyle{ x,y}\) w zależności od \(\displaystyle{ x',y'}\), potem skorzystaj z równania \(\displaystyle{ xy=5}\) i dostaniesz podobny związek pomiędzy \(\displaystyle{ x'}\) a \(\displaystyle{ y'}\) jak w Twoim poprzednim poście. Wiem, mógłbym to rozwiązać i napisać, ale większą wartość będą miały takie wskazówki jak daję. Pozdrawiam.

[milka333]

dopiero teraz zauważyłam jak przeczytałam twoją wiadomość szw1710, zrobiłam to dokładnie jak teraz napisałeś, tylko źle napisałam (zamiast primów kwadraty) , to wygląda tak:
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{ \sqrt{2} }(x^{'}+y^{'})}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{ \sqrt{2} }(y^{'}-x^{'})}\).
I naprawdę nie wiem co z tym wynikiem zrobić, bo błędu w obliczeniach nie widzę, robiłam je kilka razy, a wychodzi jak wychodzi.
Dzięki za to, że poświęcasz mi ten kawałek czasu

[szw1710]

Na dole minus. Wtedy rzeczywiście będzie

\(\displaystyle{ (x')^2-(y')^2=10}\)

a stąd łatwo odczytasz ogniska i wierzchołki.

[milka333]

Już wiem! jak obrócę o \(\displaystyle{ -45^{\circ}}\) wtedy znaki będą się zgadzać i wyjdzie mi tak jak powinno!:)
Dziękuję za pomoc