Odległość punktu od prostej

[milka333]

Zadanie wydawało mi się proste... i pewnie takie jest
Należy obliczyć odległość punktu \(\displaystyle{ P=(3,-1)}\) od prostej \(\displaystyle{ L:\begin{cases} x= 3t +2 \\ y= 2t-1\end{cases}}\), \(\displaystyle{ t \in R}\).

Wyznaczyłam wektor \(\displaystyle{ \vec{u}=[3,2]}\). Potem podstawiłam to do ogólnego równania funkcji,otrzymałam je w postaci \(\displaystyle{ L:3x+2y-7=0}\). Zaczęłam podstawiać dane do wzoru na odległość \(\displaystyle{ d=\frac{Ax+By+C}{ \sqrt{A^{2}+B^{2}} }}\). I tu się zatrzymałam, bo d byłoby równe zeru...

Proszę, poprawcie moje błędy

[adamglos92]

Przyznaję nie liczyłem - ale proponuję wyprowadzić wzór na funkcję y(x), poprzez podstawienie
\(\displaystyle{ t=\frac{x-2}{3}}\) Do drugiego równania. W ten masz prostą y(x), a dalej tak samo.
Mi w pamięci wyszło równanie:
\(\displaystyle{ y =\frac{2}{3}x - \frac{5}{3}}\)
PS.: możliwe jest, że d=0, wtedy punkt należy do prostej

[Crizz]

Podejrzewam, że wyliczając równanie prostej L, wstawiłaś do niego współrzędne punktu P. W takim razie, skoro prosta zawiera punkt P, to oczywiste jest, że odległość punktu P od niej wynosi zero

Skorzystaj ze wskazówki, którą dał Ci adamglos92, a jeśli chcesz rozwiązać zadanie swoją metodą, to do równania prostej podstaw jakiś przykładowy punkt prostej (przykładowo dla \(\displaystyle{ t=1}\) mamy punkt \(\displaystyle{ (5,1)}\)).

[adamglos92]

Nie zgodzę się z tobą Crizz. Jeśli podstawi pod t konkretną wartość to wyjdzie mu punkt prostej. W tedy będzie mógł obliczyć odległość, ale punktu od punktu a nie od prostej.

[milka333]

Rzeczywiście do wyliczenia równania prostej \(\displaystyle{ L}\) użyłam punktu \(\displaystyle{ P}\)... Korzystając z Waszych wskazówek wyszły mi jednak inne wyniki. adamglos92, masz chyba rację. poukładało mi się już nieco w głowie

Dziękuję za rozświetlenie sprawy

P.S. Dzięki za poprawki Crizz

[Crizz]

Nie zgodzę się z tobą Crizz. Jeśli podstawi pod t konkretną wartość to wyjdzie mu punkt prostej.

Myślałem, że wyraziłem się w miarę jasno i myślę, że milka333 zrozumiała, o co chodzi, ale na wszelki wypadek uściślę: chodzi o wykorzystanie punktu \(\displaystyle{ (5,1)}\) do wyznaczenia równania prostej, czyli wyznaczenia współczynnika \(\displaystyle{ C}\) w równaniu \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\).

Dopiero teraz natomiast zauważyłem, że do równania prostej został wstawiony wektor kierunkowy tej prostej (\(\displaystyle{ [A,B]=[3,2]}\)), a to nie jest poprawne.

Wektor \(\displaystyle{ [A,B]}\) jest prostopadły do prostej o równaniu \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\). Ty natomiast wstawiłaś za A i B współrzędne wektora równoległego do tej prostej, dlatego wyniki wyszły inne. Należałoby wstawić \(\displaystyle{ [A,B]=[2,-3]}\) (współrzędne wektora kierunkowego zamieniamy, a drugą współrzędną bierzemy z minusem; otrzymany wektor jest prostopadły do wektora kierunkowego prostej).

[adamglos92]

Teraz Cię rozumiem Crizz. Rzeczywiście teraz to wygląda dużo lepiej - zwracam honor:) Co prawda wydaje mi się, że mój sposób jest łatwiejszy, co bynajmniej nie umniejsza prawdziwości twoich twierdzeń.