Uzasadnij, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa średnij arytmetycznej długości podstaw.
(Proszę o rozwiązanie przy użyciu wektorów)
Uzasadnij, że w trapezie zachodzi...
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 16 paź 2010, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 5 razy
Uzasadnij, że w trapezie zachodzi...
\(\displaystyle{ \hbox{Zał:}
\\|AE|=|ED| , E \in AD
\\|CF|=|FB|, F \in CB
\\ |AB| \ || \ |CD|
\\
\\ \hbox{Teza:}
\\ EF || AB || DC
\\ |EF|= \frac{1}{2} (|AB|+|CD|)
\\
\\ \hbox{Dowód:}
\\ \begin{cases}\vec{EF}= \frac{1}{2}\vec{AD}+\vec{DC}+ \frac{1}{2}\vec{CB}
\\\vec{EF}=- \frac{1}{2}\vec{AD}+\vec{AB}- \frac{1}{2} \vec{CB}
\end{cases}}\)
Dodajemy teraz do siebie oba równania:
\(\displaystyle{ 2\vec{EF}=\vec{DC}+\vec{AB}
\\ \vec{EF}= \frac{\vec{DC}+\vec{AB}}{2}}\)
Wektory \(\displaystyle{ \vec{DC} \ \hbox{i} \ \vec{AB}}\) mają ten sam kierunek i zwrot, zatem \(\displaystyle{ \vec{DC}+ \vec{AB}}\) mają ten sam kierunek jak \(\displaystyle{ \vec{DC} \ \hbox{i} \ \vec{AB}}\), mnożenie przez stałą nie zmienia kierunku wektora czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(\vec{DC}+\vec{AB}) || \vec{DC}
\\ \frac{1}{2}(\vec{DC}+\vec{AB}) || \vec{AB}}\)
Z równoległości wektorów \(\displaystyle{ \vec{DC} \hbox{i} \vec{AB}}\) wynika, że:
\(\displaystyle{ |EF|= \frac{1}{2}(|AB|+|CD|)}\)
Koniec dowodu.
\\|AE|=|ED| , E \in AD
\\|CF|=|FB|, F \in CB
\\ |AB| \ || \ |CD|
\\
\\ \hbox{Teza:}
\\ EF || AB || DC
\\ |EF|= \frac{1}{2} (|AB|+|CD|)
\\
\\ \hbox{Dowód:}
\\ \begin{cases}\vec{EF}= \frac{1}{2}\vec{AD}+\vec{DC}+ \frac{1}{2}\vec{CB}
\\\vec{EF}=- \frac{1}{2}\vec{AD}+\vec{AB}- \frac{1}{2} \vec{CB}
\end{cases}}\)
Dodajemy teraz do siebie oba równania:
\(\displaystyle{ 2\vec{EF}=\vec{DC}+\vec{AB}
\\ \vec{EF}= \frac{\vec{DC}+\vec{AB}}{2}}\)
Wektory \(\displaystyle{ \vec{DC} \ \hbox{i} \ \vec{AB}}\) mają ten sam kierunek i zwrot, zatem \(\displaystyle{ \vec{DC}+ \vec{AB}}\) mają ten sam kierunek jak \(\displaystyle{ \vec{DC} \ \hbox{i} \ \vec{AB}}\), mnożenie przez stałą nie zmienia kierunku wektora czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(\vec{DC}+\vec{AB}) || \vec{DC}
\\ \frac{1}{2}(\vec{DC}+\vec{AB}) || \vec{AB}}\)
Z równoległości wektorów \(\displaystyle{ \vec{DC} \hbox{i} \vec{AB}}\) wynika, że:
\(\displaystyle{ |EF|= \frac{1}{2}(|AB|+|CD|)}\)
Koniec dowodu.
Ostatnio zmieniony 17 paź 2010, o 15:57 przez Mazz_, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 16 paź 2010, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 5 razy
Uzasadnij, że w trapezie zachodzi...
Skoro \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{DC}}\) są do siebie równoległe (z założenia), to suma tych wektorów jest również do nich równoległa. A skoro suma tych wektorów jest równoległa do wektorów \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{DC}}\) to połowa tej sumy również jest równoległa do tych wektorów, czyli \(\displaystyle{ \vec{EF} || \vec{AB}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{EF} || \vec{DC}}\).