W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dane są: \(\displaystyle{ \vec{AB} = \vec{c}, \vec{BC} = \vec{a}, \vec{CP} = \vec{b}}\).
a) Wyznacz w zależności od \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}\) wektory \(\displaystyle{ \vec{AM}, \vec{BN}, \vec{CP}}\), gdzie \(\displaystyle{ M, N, P}\) są odpowiednio środkami boków \(\displaystyle{ BC, AC, AB}\).
b) Wykaż, że \(\displaystyle{ \vec{AM} + \vec{BN} + \vec{CP} = 0}\)
Wyznacz i wykaż że w trójkącie ABC...
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Wyznacz i wykaż że w trójkącie ABC...
W założeniach powinno być \(\displaystyle{ \vec{CA}=\vec{b}}\).
Wtedy mamy np. \(\displaystyle{ \vec{AM}=\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{BM}=\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{a}}\), ale równie dobrze jest \(\displaystyle{ \vec{AM}+\vec{MC}=\vec{AC}=-\vec{CA}}\), skąd \(\displaystyle{ \vec{AM}=-\vec{CA}-\frac{1}{2}\vec{BC}=-\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}}\). Podobnie można opisać pozostałe dwa wektory (każdy na dwa sposoby).
Wówczas wykazanie ostatniej części zadania nie powinno stanowić problemu. (Może trzeba będzie skorzystać z równości \(\displaystyle{ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}}\) - pozostawiam dalsze rozważania do Twojej dyspozycji.)
Wtedy mamy np. \(\displaystyle{ \vec{AM}=\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{BM}=\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{a}}\), ale równie dobrze jest \(\displaystyle{ \vec{AM}+\vec{MC}=\vec{AC}=-\vec{CA}}\), skąd \(\displaystyle{ \vec{AM}=-\vec{CA}-\frac{1}{2}\vec{BC}=-\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}}\). Podobnie można opisać pozostałe dwa wektory (każdy na dwa sposoby).
Wówczas wykazanie ostatniej części zadania nie powinno stanowić problemu. (Może trzeba będzie skorzystać z równości \(\displaystyle{ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}}\) - pozostawiam dalsze rozważania do Twojej dyspozycji.)