Wektory, iloczyn skalarny.

[Ciamolek]

Dane, że
\(\displaystyle{ \vec{x} + \vec{y} (\vec{x} \cdot \vec{y} )= \vec{a}}\)

Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ (\vec{x} \cdot \vec{y} )^{2}= \frac{ |a|^{2}-|x|^{2} }{2+ |y|^{2}}}\)

Nie wiem, jak się za to zabrać. Ma ktoś może jakieś wskazówki?

Pozdrawiam,
Ciamolek

[Qń]

Wskazówka: oznaczmy \(\displaystyle{ \vec{x} \circ \vec{y} = c}\). Dana równość przyjmuje wtedy postać:
\(\displaystyle{ \vec{x}+c\vec{y}=\vec{a}}\)
Pomnożenie jej kolejno przez \(\displaystyle{ \vec{x},\vec{y},\vec{a}}\) daje:
\(\displaystyle{ |\vec{x}|^2+c^2=\vec{a}\circ \vec{x} \\
c+c\cdot |\vec{y}|^2= \vec{a} \circ\vec{y}\\
\vec{a}\circ \vec{x} +c \cdot\vec{a}\circ \vec{y}= |\vec{a}|^2}\)
skąd już nietrudno uzyskać żądaną zależność.

Q.

[Ciamolek]

Dzięki. Sorry, że tak długo musiałeś czekać na 'pomógł'. Przyznam szczerze, że nie wpadłbym chyba nigdy na takie przemnażanie przez wszystko po kolei.

Pozdrawiam