Oblicz współrzędne punktu jeżeli...

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Katee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 143
Rejestracja: 8 lis 2009, o 12:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 3 razy

Oblicz współrzędne punktu jeżeli...

Post autor: Katee »

Dane są 2 punkty
\(\displaystyle{ A(2, -5);
B(-4, 7);}\)

Wyznacz współrzędne puntku P, który dzieli odcinek \(\displaystyle{ AB}\), że:
\(\displaystyle{ \frac{|PB|}{|AB|} = \frac{1}{3}}\)
Proszę o wytłumaczenie
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Oblicz współrzędne punktu jeżeli...

Post autor: lukasz1804 »

Niech \(\displaystyle{ P=(x,y)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y}\).
Ponieważ punkty A, B, P są współliniowe, to wektory \(\displaystyle{ \vec{BP},\vec{BA}}\) są równoległe. Są one przy tym zaczepione w punkcie B.
Co więcej, z założenia mamy \(\displaystyle{ |PB|=\frac{1}{3}|AB|}\), więc \(\displaystyle{ \vec{BP}=\frac{1}{3}\vec{BA}}\).
Mamy \(\displaystyle{ \vec{BP}=[x+4,y-7]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{BA}=[6,-12]}\). Stąd i z poprzedniej równości dostajemy \(\displaystyle{ [x+4,y-7]=[2,-4]}\), tj. \(\displaystyle{ x+4=2}\) i \(\displaystyle{ y-7=-4}\). Zatem \(\displaystyle{ P=(x,y)=(-2,3)}\).

Warto było zauważyć istnienie dwóch wektorów równoległych i przełożyć proporcję długości odcinków na zależność między współrzędnymi tych wektorów. Pozwoliło to uniknąć dość przykrych rachunków z długościami odcinków.
ODPOWIEDZ