Dane są 2 punkty
\(\displaystyle{ A(2, -5);
B(-4, 7);}\)
Wyznacz współrzędne puntku P, który dzieli odcinek \(\displaystyle{ AB}\), że:
\(\displaystyle{ \frac{|PB|}{|AB|} = \frac{1}{3}}\)
Proszę o wytłumaczenie
Oblicz współrzędne punktu jeżeli...
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Oblicz współrzędne punktu jeżeli...
Niech \(\displaystyle{ P=(x,y)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y}\).
Ponieważ punkty A, B, P są współliniowe, to wektory \(\displaystyle{ \vec{BP},\vec{BA}}\) są równoległe. Są one przy tym zaczepione w punkcie B.
Co więcej, z założenia mamy \(\displaystyle{ |PB|=\frac{1}{3}|AB|}\), więc \(\displaystyle{ \vec{BP}=\frac{1}{3}\vec{BA}}\).
Mamy \(\displaystyle{ \vec{BP}=[x+4,y-7]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{BA}=[6,-12]}\). Stąd i z poprzedniej równości dostajemy \(\displaystyle{ [x+4,y-7]=[2,-4]}\), tj. \(\displaystyle{ x+4=2}\) i \(\displaystyle{ y-7=-4}\). Zatem \(\displaystyle{ P=(x,y)=(-2,3)}\).
Warto było zauważyć istnienie dwóch wektorów równoległych i przełożyć proporcję długości odcinków na zależność między współrzędnymi tych wektorów. Pozwoliło to uniknąć dość przykrych rachunków z długościami odcinków.
Ponieważ punkty A, B, P są współliniowe, to wektory \(\displaystyle{ \vec{BP},\vec{BA}}\) są równoległe. Są one przy tym zaczepione w punkcie B.
Co więcej, z założenia mamy \(\displaystyle{ |PB|=\frac{1}{3}|AB|}\), więc \(\displaystyle{ \vec{BP}=\frac{1}{3}\vec{BA}}\).
Mamy \(\displaystyle{ \vec{BP}=[x+4,y-7]}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{BA}=[6,-12]}\). Stąd i z poprzedniej równości dostajemy \(\displaystyle{ [x+4,y-7]=[2,-4]}\), tj. \(\displaystyle{ x+4=2}\) i \(\displaystyle{ y-7=-4}\). Zatem \(\displaystyle{ P=(x,y)=(-2,3)}\).
Warto było zauważyć istnienie dwóch wektorów równoległych i przełożyć proporcję długości odcinków na zależność między współrzędnymi tych wektorów. Pozwoliło to uniknąć dość przykrych rachunków z długościami odcinków.