Okrąg i proste prostopadłe

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
acallk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 3 cze 2010, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Okrąg i proste prostopadłe

Post autor: acallk »

Prostopadłe proste k i l s są styczne do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ (x+6)^{2}+(y+8)^{2}=18}\) w punktach odpowiednio K i L. Oblicz odległość punktu K od punktu L

Wyznaczyłem oczywiście promień, środek, napisałem wzór ogólny funkcji liniowej i teraz gdy chcę zastosować wzór na odległość punktu od prostej to pojawiają mi się tam 2 niewiadome a i b. Nie wiem jak mam się pozbyć któreś z nich. Proszę o pomoc.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Okrąg i proste prostopadłe

Post autor: lukasz1804 »

Spróbujmy najpierw coś zauważyć.
Niech O oznacza środek okręgu, S - punkt przecięcia prostych k i l.
Z założenia \(\displaystyle{ k\perp l}\), więc \(\displaystyle{ KS\perp LS}\). Z określenia prostych k i l jako stycznych do okręgu mamy też \(\displaystyle{ KS\perp KO, LS\perp LO}\).
Stąd i z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych w czworokącie wynika, że w czworokącie OKSL kąt \(\displaystyle{ \angle KOL}\) jest kątem prostym.
Co więcej, \(\displaystyle{ |KO|=|LO|=3\sqrt{2}}\), czyli czworokąt OKSL jest kwadratem o boku \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}}\).
Wobec tego okazuje się, że \(\displaystyle{ KL}\) jest przekątną w tym kwadracie i jej długość to \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=6}\).

Zadanie tylko pozornie wymaga zatem wprowadzania układu współrzędnych - potrzebny był tylko promień okręgu.
ODPOWIEDZ