W jaki sposób powinienem szukać punktów wymiernych na krzywej stożkowej? Powiedzmy, mam okrąg dany wzorem:
\(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} = 25}\)
Jak mam sprawdzić, jakie punkty wymierne do niego należą? Taki przykład podałem, bo fajnie można zauważyć, że będą to pary liczb \(\displaystyle{ (x,y)=(3,4)}\) z dokładnością do znaku i permutacji, więc pewnie będzie też łatwe wykazanie, a poprzez analogię przełożę to w ogólność, a także na inne krzywe. Próbowałem się wedrzeć tutaj zespolonymi, ale niestety nie da to oczekiwanego rezultatu.
Pozdrawiam.
Punkty wymierne na krzywej stożkowej.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Punkty wymierne na krzywej stożkowej.
Niech \(\displaystyle{ x=\frac{k}{n},\;y=\frac{m}{n}}\) (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika). Wtedy mamy
\(\displaystyle{ k^2+m^2=(5n)^2}\).
Jest to wariant równania Pitagorasa, które jest rozwiązane w wielu miejscach, np. w książce Narkiewicza, u Sierpińskiego itp. Zatem pozostaje wyznaczyć postaci liczb \(\displaystyle{ k,m,n}\).
\(\displaystyle{ k^2+m^2=(5n)^2}\).
Jest to wariant równania Pitagorasa, które jest rozwiązane w wielu miejscach, np. w książce Narkiewicza, u Sierpińskiego itp. Zatem pozostaje wyznaczyć postaci liczb \(\displaystyle{ k,m,n}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Punkty wymierne na krzywej stożkowej.
Chodziło mi bardziej o rozwiązanie, które pozwala mi obliczyć wszystkie punkty wymierne na dowolnej krzywej, bo z równaniem Pitagorasa raczej nie mam problemu, ale chciałem zobaczyć, jak jak będzie do wyglądało przeprowadzone od początku do końca.
Punkty wymierne na krzywej stożkowej.
Czyli o sposób uniwersalny. Gdzieś widziałem artykuł o punktach wymiernych na krzywej. Nie pamiętam, gdzie, ale w grę moim zdaniem wchodzą: Górnicki "Okruchy matematyki", Davis-Hersch, "Świat matematyki", Courant-Robbins "Co to jest matematyka", Ciesielski-Pogoda "Bezmiar matematycznej wyobraźni" oraz "Diamenty matematyki" czy może jeszcze coś napisanego w duchu popularyzatorskim.