Punkty wymierne na krzywej stożkowej.

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 8 paź 2010, o 21:04

W jaki sposób powinienem szukać punktów wymiernych na krzywej stożkowej? Powiedzmy, mam okrąg dany wzorem:

\(\displaystyle{ x ^{2} + y ^{2} = 25}\)

Jak mam sprawdzić, jakie punkty wymierne do niego należą? Taki przykład podałem, bo fajnie można zauważyć, że będą to pary liczb \(\displaystyle{ (x,y)=(3,4)}\) z dokładnością do znaku i permutacji, więc pewnie będzie też łatwe wykazanie, a poprzez analogię przełożę to w ogólność, a także na inne krzywe. Próbowałem się wedrzeć tutaj zespolonymi, ale niestety nie da to oczekiwanego rezultatu.

Pozdrawiam.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 8 paź 2010, o 21:57

Niech \(\displaystyle{ x=\frac{k}{n},\;y=\frac{m}{n}}\) (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika). Wtedy mamy

\(\displaystyle{ k^2+m^2=(5n)^2}\).

Jest to wariant równania Pitagorasa, które jest rozwiązane w wielu miejscach, np. w książce Narkiewicza, u Sierpińskiego itp. Zatem pozostaje wyznaczyć postaci liczb \(\displaystyle{ k,m,n}\).

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 8 paź 2010, o 23:22

Chodziło mi bardziej o rozwiązanie, które pozwala mi obliczyć wszystkie punkty wymierne na dowolnej krzywej, bo z równaniem Pitagorasa raczej nie mam problemu, ale chciałem zobaczyć, jak jak będzie do wyglądało przeprowadzone od początku do końca.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 8 paź 2010, o 23:41

Czyli o sposób uniwersalny. Gdzieś widziałem artykuł o punktach wymiernych na krzywej. Nie pamiętam, gdzie, ale w grę moim zdaniem wchodzą: Górnicki "Okruchy matematyki", Davis-Hersch, "Świat matematyki", Courant-Robbins "Co to jest matematyka", Ciesielski-Pogoda "Bezmiar matematycznej wyobraźni" oraz "Diamenty matematyki" czy może jeszcze coś napisanego w duchu popularyzatorskim.