Punkty przecięcia się prostej i okręgu.

[aras193]

Witam. Mam następujące zadanie na matematyce:
Punkty wspólne okręgu \(\displaystyle{ (x-3) ^{2} + (y-5) ^{2} =4}\) i prostej \(\displaystyle{ x+y=10}\) są wierzchołkami trójkąta, którego trzeci wierzchołek znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\). Wyznacz pole trójkąta.
Więc teraz tak: musiałbym wyliczyć długości boków i później z wzoru Herona wyznaczyć pole. Umiałbym znaleźć długości boków, jeśli miałbym współrzędne pozostałych dwóch wierzchołków. Niestety nie znam ich. Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć, jak mogę znaleźć współrzędne pozostałych wierzchołków?
Z góry dziękuję za pomoc
Nie wiem, czy wybrałem dobry dział. Jeśli nie to proszę moderatorów o przeniesienie i przepraszam za utrudnienia.

[Crizz]

Punkty wspólne znajdziesz, rozwiązując układ równań złożony z równania okręgu i równania prostej.

[aras193]

Dziękuję za przeniesienie i poprawienie błędów.
Więc:
\(\displaystyle{ (x-3) ^{2} +(y-5) ^{2} =4}\)
\(\displaystyle{ x+y=10}\)
\(\displaystyle{ x=10-y}\)
\(\displaystyle{ (10-y-3) ^{2} +(y-5) ^{2} =4}\)
\(\displaystyle{ (7-y) ^{2} +(y-5) ^{2} -4=0}\)
\(\displaystyle{ 49-14y+y ^{2} +y ^{2} -10y+25-4=0}\)
\(\displaystyle{ 2y ^{2} -24y+70=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4}\)

[Inkwizytor]

popraw zapis bo jest nieczytelny

[Crizz]

Na razie jest OK, teraz tylko rozwiąż otrzymane równanie.

[aras193]

Już poprawiam, bo nie do końca orientuję się jeszcze w LaTeX-ie.

[Inkwizytor]

popraw jeszcze tu:

Kod: Zaznacz cały

Zamiast:
sqrt{2x}Delta
napisz:
sqrt{Delta}

[aras193]

Wyliczyłem te pierwiastki równania kwadratowego i wyszło:
\(\displaystyle{ x _{1} = 5}\)
\(\displaystyle{ x _{2} =7}\)
czy mogę więc podstawić sobie te wartości pod wzór funkcji liniowej:
\(\displaystyle{ x+y=10}\)
otrzymując:
\(\displaystyle{ y _{1} =5}\)
\(\displaystyle{ y _{2} =3}\)
Jeśli tak, to miałbym już współrzędne wszystkich trzech wierzchołków. Teraz musiałbym policzyć długości tych boków:
\(\displaystyle{ A(0,0)}\)
\(\displaystyle{ B(7,3)}\)
\(\displaystyle{ C(5,5)}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}}\)
Biorąc później \(\displaystyle{ \sqrt{58}}\) do wzoru Herona wychodzą jakieś kosmiczne liczby. Nie popełniłem gdzieś po drodze błędu w obliczeniach?

-- 6 paź 2010, o 20:05 --

Dopiero teraz mam z tego kartkówkę, wymyśliłem takie obliczenie:
Wyznaczam prostą przechodzącą przez punkty:
\(\displaystyle{ A(0,0) i B(5,5)}\)
Bok \(\displaystyle{ |AB|}\) wezmę jako podstawę.
\(\displaystyle{ (5-0)(y-0)=(5-0)(x-0)
5y=5x
y=x równanie szukanej prostej.
Teraz znajdę odległość punktu C od prostej AB. Jako, że będzie ona padała pod kątem prostym do tej prostej, będzie ona równocześnie wysokością trójkąta.
Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ d= \frac{A x{0}+B y{0}+C| }{ \sqrt{ A{2} B{2} } }}\)-- 6 paź 2010, o 20:12 --Dopiero teraz mam z tego kartkówkę, wymyśliłem takie obliczenie:
Wyznaczam prostą przechodzącą przez punkty:
\(\displaystyle{ A(0,0) i B(5,5)}\)
Bok \(\displaystyle{ |AB|}\) wezmę jako podstawę.
\(\displaystyle{ (5-0)(y-0)=(5-0)(x-0)}\)
\(\displaystyle{ 5y=5x}\)
\(\displaystyle{ y=x}\) równanie szukanej prostej.
Teraz znajdę odległość punktu \(\displaystyle{ C}\) od prostej \(\displaystyle{ AB}\). Jako, że będzie ona padała pod kątem prostym do tej prostej, będzie ona równocześnie wysokością trójkąta.
Więc
\(\displaystyle{ d=h}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{|7+3|}{ \sqrt{2} }=5 \sqrt{2}}\)
Bok \(\displaystyle{ |AB|}\) to podstawa, nazwijmy ją \(\displaystyle{ a}\)
Pole trójkąta:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}*a*h= \frac{1}{2}*5 \sqrt{2}*5 \sqrt{2}= \frac{1}{2}*50=25}\)
Czy takie rozwiązanie jest poprawne?}\)