Obliczyc dlugosc wektora

[wegian]

Prosze o pomoc w rozwiazaniu paru zadan z wersorami.

1. Obliczyc dlugosc wektora \(\displaystyle{ \vec{a}=3 \vec{p}-4 \vec{q}}\) wiedzac, ze \(\displaystyle{ \vec{p}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{q}}\) sa wersorami wzajemnie prostopadlymi.

2. Obliczyc dlugosc przekatncyh rownolegloboku zbudowanego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a} =5 \vec{p} +2 \vec{q}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b} = \vec{p} -3 \vec{q}}\), gdy \(\displaystyle{ \left| \vec{p} \right|=2 \sqrt{2}, \left| \sphericalangle ( \vec{p}, \vec{q} \right| = \frac{\pi}{4}}\)

3. Wiedzac, ze \(\displaystyle{ \left| \vec{a} \right| =2, \left| \vec{b} \right| =5,\left| \sphericalangle ( \vec{a}, \vec{b} \right|= \frac{2\pi}{3}}\)obliczyc przy jakiej wartosci k wektory p=ka+17b oraz q=3a-b sa prostopadle.

4. Jaki kat tworza wersory \(\displaystyle{ \vec{s}, \vec{t}}\)gdzy wekor \(\displaystyle{ \vec{p}= \vec{s}+2 \vec{t}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{q} =5 \vec{s}-4 \vec{t}}\) sa prostopadle ?

[nowheredense_man]

1) \(\displaystyle{ \vec{a}\cdot\vec{a}=a}\), skorzystaj z faktu, że \(\displaystyle{ \vec{q}\cdot\vec{q}=1}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}\cdot\vec{p}=0}\)
2) jedna przekądna to suma wektorów będących bokami, a druga, to ich różnica, skorzystaj z tego co już w pierwszym powiedziałem, z tym, że \(\displaystyle{ \vac{p}\cdot\vec{q}=pq\cos(\pi/4)}\)
3) oblicz iloczyn skalarny tych wektorów i zapytaj: dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) będzie on zerowy?
4) masz: \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\vec{s}\cdot\vec{t}}{st}}\), ułóż równanie \(\displaystyle{ \vec{p}\cdot\vec{q}=0}\) skąd dostaniesz to o co pytasz.