płaszczyzna i prosta

[ghoststanley]

Witam,
Mam problem z rozwiązaniem zadania:

dane są płaszczyzny \(\displaystyle{ H: x+2y-z=5}\) oraz \(\displaystyle{ K: x+y-z=5}\). Niech l oznacza prostą powstałą w wyniku przecięcia się płaszczyzn H i K. Wyznaczyć płaszczyznę prostopadłą do prostej l i przecinającą ją w punkcie \(\displaystyle{ P (2, 0, 1)}\)

Moje obliczenia:

wektory dwóch płaszczyzn, które tworzą prostą to \(\displaystyle{ \vec{n_1}=[1, 2 , -1] , \vec{n_2}= [1, 1, -1]}\)

\(\displaystyle{ \vec{n_1} \times \vec{n_2}= \vec{k} = [-1, 0, -1]}\) (wektor kierunkowy prostej l)

płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi \perp l}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \vec{n}\parallel \vec{k}}\)

i dalej proszę o pomoc.

[Crizz]

wektory dwóch płaszczyzn, które tworzą prostą to \(\displaystyle{ \vec{n_1}=[1, 2 , -1] , \vec{n_2}= [1, 1, -1]}\)

To nie są wektory tych płaszczyzn. To są wektory normalne do tych płaszczyzn.

płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi \perp l}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \vec{n}\parallel \vec{k}}\)

Sam napisałeś "wtedy i tylko wtedy", czyli jako wektor normalny do szukanej płaszczyzny wystarczy wziąć dowolny wektor równoległy do \(\displaystyle{ \vec{k}}\) (np. sam wektor \(\displaystyle{ \vec{k}}\)).

Wiesz już, że równanie płaszczyzny będzie miało postać \(\displaystyle{ -x-z+D=0}\). Musisz teraz tak dobrać \(\displaystyle{ D}\), żeby do płaszczyzny należał podany punkt.

[ghoststanley]

Ok dzięki wielkie już wszystko wiem.

Pozdrawiam